Линейные соотношения в электрических цепях

 

Задача 1.23.

В схеме рисунка 1.39 переключатели находятся либо в первом, либо во втором положении. Если они находятся в положении 1, то в схеме включен только один источник ЭДС E₄. Под действием ЭДС E₄протекают токи I1 = 1.5 А, I2 = 3 A, I3 = 1 А. Найти ток I1, если все переключатели находятся в положении 2, полагая, что Е₁ =20 В, Е₂ = 40 В, Е₃ = 50 В, E₄ = 10 В.

 

 

Рисунок 1.39

 

Для определения тока I4 воспользуемся принципом наложения и принципом взаимности. Если бы в схеме был включен только один источник ЭДС E1 = 10 В, а остальные отсутствовали, то в ветви R4 по принципу взаимности протекал бы сверху вниз ток 1,5 А (ток I1 от E4 был равен 1,5А). Так как ЭДС E2 = 10 В, то ветви с R4 протекает ток

 

Аналогично находятся токи в ветви с R4 от источников ЭДС E2, E3

 

 

Ток I4 определим путем алгебраического сложения составляющих токов (с учетом их направления)

 

 

Задача 1.24.

Воспользовавшись принципом взаимности, определить показания амперметра А (рисунок 1.40). Дано: Е = 30 В. R1 = 6 кОм, R_г = 4 кОм, R₂ = 8кОм, R₂= R5 =2 кОм.

 

 

 

 

В соответствии с принципом взаимности схема рисунка 1.40 может быть образована в схему рисунка 1.41, где ток I=I5.

 

Рисунок 1.41

 

Эта схема может быть представлена следующим образом (рисунок 1.42).

 

Рисунок 1.42

Рассчитаем токи:

 

 

 

Из схемы рисунка 1.41 ток

 

Задача 1.25.

При уменьшении на 0.25 Ом сопротивления R1 одного из плеч сбалансированного четырехплечего моста (рисунок 1.43) в цепи гальванометра Gвозникает ток 1_г = 50 мкА, а ток Һв сопротивлении R_t изменяется от 100 до 125 мА Найти зависимость изменения тока I2 от изменения сопротивления R1

 

 

Рисунок 1.43

 

По теореме вариаций изменение тока

 

 

где - изменение сопротивления R1,

-ток при = О,

и — входная проводимость ветви 1 и взаимная проводимость ветвей и 1 при = 0.

Входную проводимость и взаимную проводимость найдем, заменив по теореме компенсации на ЭДС ,, где изменение тока ветви 1. На основании принципа наложения можно сказать, что приращения токов вызваны только ЭДС .

 

Следовательно

 

 

 

Таким образом, искомая зависимость, исходя из исходного уравнения имеет вид

 

 

Задача 1.26.

Для схемы рисунка 1.44 известны показания амперметров двух режимах: 1)R=0, 2)R= RH, Определить показания первого амперметра при

 

 

 

Рисунок 1.44

Для линейной цепи справедливо соотношение вида По данным двух режимов находим коэффициенты а и в из уравнении:

 

5=а+b*2, 4=a+b*1, откуда a=3A, в=1.

При R=∞ ток I2=0 и I1=а+в*0=а=3А.

 

Глава вторая

Линейные цепи синусоидального тока

Мгновенные и действующие значения синусоидальных величин. Последовательное и параллельное соединение элементов. Мощности

 

Задача 2.1.

Известно, что в момент времени t = 0 мгновенное значение синусоидального тока i = 5 А и достигает положительного максимума через t ₁ = 2,5 мc. Период Т = 0,02 с. Определить амплитудное значение тока, начальную фазу и угловую частоту. Записать выражение для мгновенного значения тока и построить его график.

Мгновенное значение тока имеет вид i = I_msin(ωt + ψ_i), где угловая частота c^–1. При t = t ₁ ток достигает положительного максимума, следовательно, фаза тока , откуда

.

Теперь можно определить амплитуду тока:

при t = 0, i (0) = I_msin ψ_i = 5 A, откуда A.

График тока представлен на рисунке 2.1.

 

Задача 2.2.

Индуктивность L = 100 мГн включена последовательно с активным сопротивлением R =10 Ом (рисунок 2.2). Мгновенное значение направления на активном сопротивлении u_R = 50sin(314 t + 30°) B. Определить мгновенные значения тока i и напряжения на индуктивности u_L действующие значения U_R, U_L, I, мощности P, Q, S.

Построить векторную диаграмму тока и напряжений, определить действующeе значение напряжения U

Рисунок 2.2

.

 

Мгновенное значение тока

A.

мгновенное значение напряжения и индуктивности

Это напряжение можно определить иначе. Все напряжения в схеме рисунка 2.2 являются синусоидальными, поэтому напряженя u_L = U_mL sin(ωt + ψ_uL), где неизвестными являются амплитуда U_mL и начальная фаза ψ_uL. Амплитуда напряжения определяется по закону Ома, а начальная фаза напряжения на индуктивности больше на 90°.

Следовательно,

Действующие значения:

A, B, B.

Активная мощность Вт, рективная мощность вар, полная мощность

В·А.

Векторная диаграмма для схемы имеет вид, показанный на рисунке 2.3. Напряжение на индуктивности опережает ток на 90°. Так как напряжение , то напряжение определяется как геометрическая сумма векторов и . Тaким образом, действующее значение входного напряжения В.

 

 

Из рисунка 2.3. видно, что угол сдвига фаз между током и напряжением на входе

 

Рисунок 2.3

 

 

Задача 2.3.

В схеме рисунка 2.4 R = 120 Ом, С = 30 мкФ, напряжение u В. Определить полное сопротивление цепи, действующие и мгновенные значения напряжений и тока, активную, реактивную цельную мощности. C

Рисунок 2.4

Емкостное сопротивление , полное сопротивление цепи

Действующие значения напряжении и тока:

 

Угол сдвига фаз между током и входным напряжением:

 

Мгновенные значения:

Мгновенное значение напряжения на емкости можно определить также из выражения:

Мощности:

Задача 2.4

Изобразить схему замещения приемника, ток к напряжение которого выражаются функциями . Определить угол сдвига фаз напряжения и тока.

Как известно, . Так как ток опережает на­пряжение на угол 30°, то приемник имеет активно - емкостной характер. Схема замещения приемника показана на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5

 

Задача 2.5.

В схеме рисунка 2.6 R=50 Ом, С=3.185 мкФ. Определить действующее значение тока I в цепи, если U = 220В, f =500Гц.

 

Рисунок 2.6

Определим действующие значения токов в ветвях:
Построим для схемы векторную диаграмму напряжения и токов(рисунок 2.7.). Так как ток опережает напряжение на 90 , а общий ток i= , то действующее значение этого тока равно

Рисунок 2.7

 

Ток I можно, определить другим способом. Емкостная проводимость См; полная проводимость цепи

Действующее значение тока