Расчет цепей для закона Кирхгофа. Баланс мощностей

Задача 1.12

Определить токи в ветвях схемы рисунка 1.17, если R₁ =12Ом, R₂ =5Ом, R₃ =2Ом, R₄ =4Ом, R₅ =4Ом R₆ =1Ом, R₇ =24Ом, E₁ =4B, E₂ =1B, E₆ =5B, E₇ =2B, J₂ =0,7A.

Рисунок 1.17

 

 

Произвольно задаемся направлениями токов в ветвях. Определим число уровнений, которые необходимо составить по законам Кирхгофа: по первому закону: n-1=5-1=4

По второму закону: n-m+1-q=8-5+1-1=3

Записываем уровнение по І закону Кирхгофа:

Выбираем три независимых контура, исключая ветвь с источником тока, и задаемся направлением их обхода. Записываем уровнения по 2 закону Кирхгофа:

 

Для определения токов необходимо решить систему уровнений:

Решение этих уровнений дает следующее значение токов:

Для проверки правильности расчета токов в ветвях состовляется уровнение баланса мощностей:

Где

Подставляя числовые значения, получим

 

Метод контурных токов и узловых потенциалов

 

Задача 1.13

В схеме рисунка 1.18 определить все токи методом контурных токов.

Дано: R₁ =20Ом, R₂ =30Ом, R₃ =40Ом, R₄ =80Ом, R₅ =20Ом R₆ =20Ом, E =16B, J =0,3A.

Определяем число уравнений, которые необходимо составить для контурных токов по 2 закону Кирхгофа:

m-q-n+1=7-1-4+1=3

Рисунок 1.18

 

 

В данной схеме источник тока нельзя преобразовать в эквивалентный источник ЭДС. Целособразно в качестве одного из контурных токов выбрать ток источника J. Уравнения составляют всего лишь для контуров с неизвестными контурными токами. Таким образом, так как один контурный ток J известен(q=1), то число независимых контуров для которых составляются уравнения по методу контурных токов, равно трем(ветвь с источником тока входит в контур, в котором контурный ток I₄₄=J)

Произвольно задаемся направлением контурных токов I_11, I₂₂ , I₃₃:

Запишем уравнения второго закона Кирхгофа для контурных токов:

 

 

Откуда при заданых параметрах находим

I₁₁=0,3A_, I₂₂ =0,2A, I₃₃=0,1A.

Токи в ветвях: I₁ = I₁₁=0,3A_; I₂ = I₂₂ =0,2A; I₃=I₃₃=0,1A; I₄ =I₃₃ +J- I₁₁=0,1+0,3-0,3=0,1A; I₅ =I₃₃ +J- I₂₂ =0,1+0,3-0,2=0,2A; I₆ = I₁₁ -I₃₃₌0,3-0,2=0,1A.

Задача 1.14

Определить токи в схеме рисунка 1.19, еслиR1=R2=R3=10Ом, R4=5Ом, R5=10Ом, R6=2Ом, R7=1Ом, R8=5Ом, J=2A, E₁=200B, E₃=30B, E₄=80B, E₆=38B, E₇=60B.

 

 

Рисунок 1.19

 

В схеме 4 узла, поэтому количество уравнений, которые необходимо составить по первому закону Кирхгофа методом узловых потенциалов равно: n-1=4-1=3

Принимаем запишем систему уравнений для узлов 1-3:

где

 

Таким образом

 

Из системы уравнений определим потенциалы узлов:

 

Зададимся произвольно направлениями токов в ветвях и определим их по закону Ома:

 

 

Задача 1.15

Методом узловых потенциалов найти токи в схеме рисунка 1.20.

Дано: E₁=100B, E₂=10B, E₅=40B,R1=20Ом, R2=30Ом, R3=20Ом, R4=10Ом.

 

Рисунок 1.20

 

 

В схеме четыре узла, шесть ветвей, причем в двух из них включены идеальные источники ЭДС E₁ и E_5. Потенциал одного из узлов,которому подключен идеальный источник, приравнивается к нулю.Так, если принять φ₄=0, то φ₁= E₁=100В. В схеме осталась ветвь с идеальным источником E_5, имеющая бесконечно большую проводимость. Покажем, как обойти указанное затруднение. Если во все ветви, примыкающие к какому либо узлу, ввести одинаковые ЭДС, направленные к узлу (или от него), то это не окажет влияния на распределения токов в схеме, так как в уравнениях второго закона Кирхгофа для любого контура эти ЭДС взаимно компенсируется. Воспользовавшись этим, введем во все ветви, примыкающие к узлу 1, ЭДС E’,направленные к этому узлу и равные E₅ (рисунок 1.21). Получается, что в ветви 3-1 действуют одинаковые и противоположенно направленные ЭДС, их сумма равна нулю. Поэтому точки 3,1 равнопотенциальны и их можно закоротить (рисунок 1.21). Эта схема имеет три узла, причем в ветви 2-4 имеется одна идеальная ЭДС(φ₄=0,φ₁= E₁)

 

Рисунок 1.21

 

 

Следовательно, по методу узловых потенциалов надо составить всего одно уровнение для узла 1(3).Уравнение имеет вид:

 

Рисунок 1.22

Подставляя числовые значения, получим φ₁=60В. Токи I₁ – I₄ определим по закону Ома:

 

Токи I, I₅ определим по первому закону Кирхгофа в исходной схеме:

 

 

Задача 1.16

Два параллельно включенных генератора (рисунок 1.23) с ЭДС E₁ = E₂ =230В и внутренними сопртивлениями R_вт1 =0,5Ом, R_вт2 =0,4Ом питают потребитель, эквивалентное сопротивление которого R₃ =10Ом.

Определить токи в ветвях.

 

Рисунок 1.23

 

 

В соответствии с методом двух узлов, если φ_а=0, то

 

Направлениями токов в ветвях задаемся произвольно. Токи

Если R_вт1=0, то φ_а= U_ав= Е_1. Ток I₁ определяется из первого закона Кирхгофа.

При параллельной работе генераторов при равных ЭДС распределении токов между ними определяется их внутренними сопротивлениями:

 

Как изменяются токи генераторов, если ЭДС E₂ уменшить на 1%?

При E₂=277,7B получим

То есть ток второго источника уменшился с 12,5 до 9,875А или на 21%; ток первого источника увеличился.

Если требуется разгрузить один из генераторов, т.е сделать его ток равным нулю, то это возможно, если соответствующая ЭДС будет равна напряжению U_ав.

Допустим, что требуется разгрузить второй генератор, т.е сделать

Это возможно при условия Е₂=U_ав. Подставляя это равенство в формулу узлогого напряжения, получим

 

Таким образом, при Е₂=219В ток I₂=0.

1.7 Преобразование параллельного соединения ветвей с источником энергии

 

Задача 1.7

Рисунок 1.24

Определить токи в ветвях схемы рисунка 1.24,a, если Е₁=48В, Е₂=24B, Е₃=12B, Е=12B, R₁ =3Ом, R₂ =6Ом, R₃ = R₄ =2Ом, R =6Ом.

Для определения тока I₄ заменим каждую группу параллельно соединенных ветвей одной эквивалентной.

Эквивалентная ЭДС E₁₂ и эквивалентное сопротивление R₁₂ для левых ветвей:

 

Эквивалентная ЭДС E₃₄ и эквивалентное сопротивление R₃₄ для правых параллельных ветвей:

В результате таких преобразований получится схема, показанная на рисунке 1.24б

Ток в этой схеме

Напряжение на участках

 

Токи в ветвях исходной схемы

Так как U₃₄ > E, то эти источники работают в режиме потребителя, ток в ветвях с ЭДС E равен:

 

1.8 Метод наложения

 

Задача 1.18

Для схемы рисунка 1.25 заданы параметры:

Е₁=25В, J₂=0,125A, R₁ =100Ом, R₂ =2000Ом, R₃ =500Ом. Определить токи в ветвях, применив метод наложения.

 

Рисунок 1.25

 

 

Исключим источник тока и определим состовляющие токов от источника ЭДС (рисунок 1.26)

 

 

Рисунок 1.26

 

 

Токи в ветвях

 

При действии источника J₂ токи в ветвях схемы рисунка 1.27 равны:

 

Рисунок 1.27

 

 

Искомые токи

по направлению совпадает с направлением тока :

 

Задача 1.19

Как изменится токи в схеме рисунка 1.28, если ЭДС Е₃ увеличится с 48 до 96B? До этого токи в ветвях были равны: I₁=0, I₂= I₃= I₄= I₅= 3A, R₁=8Ом, R₂=16Ом, R₃=8Ом, R₄=16Ом

Рисунок 1.28

Для определения токов целособразно воспользоваться принципом наложения. При это достаточно определить токи в ветвях схемы рисунка 1.29 от источника ЭДС Δ E₃-96-48=48B, имеющего то же направление, что и ЭДС E₃ в схеме рисунка 1.28, и наложить токи схемы рисунка 1.29 на токи соотвествующих ветвей схемы рисунка 1.28.

 

Рисунок 1.29

 

Определим эквивалентное сопротивление схемы

 

 

Общий ток

Токи в ветвях

 

Результирующие токи заданной схемы