Скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении

 

	Смещение колеблющейся материальной точки определяется уравнением: x = Asin(ωt + φ), (128)   тогда скорость:   u = Aωsin(ωt + φ + π/2), (129) а ускорение: [a = Aω2sin(ωt + φ + π)]. (130)   Из графика видно, что фаза скорости отстает от фазы смещения на π/2, а фаза ускорения – на p.
Рис. 84

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

 

 

. (131)

 

Решением этого дифференциального уравнения является функция

 

x = A sin(ωt + φ).

Затухающие колебания

 

Все реальные собственные колебания тел являются затухающими. Потери энергии в механических системах происходят из-за ее рассеяния (например, за счет трения). Во многих случаях силы, вызывающие затухания колебаний, пропорциональны скорости:

 

. (132)

 

Тогда дифференциальное уравнение колебаний примет вид:

 

. (133)

 

Рис. 85	Решением такого уравнения служит уравнение вида: x = A 0∙e^-δτ∙sin(ω t + φ), (134) где – коэффициент затухания. Скорость затухания колебаний определяется величиной l: , (135) где l – логарифмический декремент затухания (физический смысл – время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз).

Опыт 5.1. Колебания груза на пружине

Цель работы: наблюдение вынужденных колебаний груза на пружине.

Оборудование:

1. Мотор.

2. Пружины.

3. Грузики.

 

Рис. 86. Демонстрация опыта

 

Ход работы

Возбуждение колебаний ведется от мотора с переменной частотой вращения через кривошипно-шатунный механизм. Имеется указатель, который показывает амплитуду и фазу возбуждающих колебаний пружины. Можно продемонстрировать явление резонанса при совпадении частот собственных колебаний пружины и частоты возбуждения системы от мотора, а также фазовые сдвиги колебаний. Наблюдаем, что при резонансе имеется фазовый сдвиг, примерно π/2.

 

Вывод: при высоких частотах возбуждения амплитуда резко падает, а колебания происходят примерно в противофазе с возбуждающей силой. При малых частотах – наоборот, в фазе.

 

Опыт 5.2. Колебания маятников

Цель работы: выявить амплитудно-фазовые соотношения.

Оборудование:

1. Три маятника разной длины.

 

Рис. 87. Колебания маятников

 

Ход работы

На горизонтальной планке, подвешенной на двух коротких нитях, привязаны несколько математических маятников. Один тяжелый возбуждающий колебания планки и три легких разной длины (большей, меньшей и равной длине тяжелого маятника). Наблюдения ведутся перпендикулярно плоскости качания маятник. При вынужденных колебаниях легких маятников под действием тяжелого амплитуда колебания максимальна у маятника с длиной равной длине маятника-возбудителя, а фаза его колебаний отстает примерно на π/2 от фазы колебаний маятника-возбудителя. Короткий маятник при этом колеблется почти в фазе с маятником-возбудителем, а длинный – в противофазе с возбудителем (причем амплитуды их колебаний невелики).

 

Вывод: максимальная амплитуда колебаний у маятника той же длины, что и маятник-возбудитель. Фаза его колебаний отстает на π/2 от фазы колебаний маятника-возбудителя.

Опыт 5.3. Корыто

Цель работы: изучить релаксационные колебания на примере корыта.

Оборудование:

1. Корыто.

2. Вода.

3. Стойка.

4. Упругая лента.

 

 

Рис. 88. Корыто

 

Ход работы

Одним из типов автоколебаний являются релаксационные колебания, когда энергия, поступающая в систему, периодически резко сбрасывается.

1. В демонстрируемом устройстве вода из водопровода постоянно наливается в корыто, прикрепленное сверху к горизонтальной стальной ленте, концы которой закреплены на стойках.

2. После достижения определенного уровня воды в сосуде он теряет устойчивость и опрокидывается, освобождаясь от воды.

3. Упругая лента возвращает его в исходное состояние и процесс повторяется.

 

Вывод: изучили релаксационные колебания на примере корыта.

Опыт 5.4. Сифон

Цель работы: продемонстрировать релаксационные колебания.

Оборудование:

1. Цилиндр с припаянной сифонной трубкой.

2. Шланг с водой.

 

 

Рис. 89. Демонстрация опыта

 

Ход работы

В сосуд впаяна сифонная трубка. Вода постоянно наливается в сосуд. Когда ее уровень достигает сгиба сифона, то начинается процесс быстрого слива воды из сосуда, и он опорожняется. Затем, когда вода доходит до нижнего отверстия сифонной трубки, слив прекращается и процесс повторяется вновь.

Вывод: колебания будут происходить до тех пор, пока вода будут поступать в сосуд.

 

Опыт 5.5. Автоколебания

Цель работы: продемонстрировать один из примеров автоколебаний.

Оборудование:

1. Анкерный часовой механизм.

 

 

Рис. 90. Демонстрация опыта

Ход работы

В качестве примера автоколебательной системы, имеющей источник энергии и устройство, регулирующее ее поступление в систему, демонстрируется анкерный часовой механизм

 

Вывод: автоколебания – незатухающие колебания в диссипативной динамической системе с нелинейной обратной связью, поддерживающиеся за счет энергии постоянного, то есть непериодического внешнего воздействия.