Выборочный метод и оценка достоверности относительных и средних величин (средние ошибки)

Как уже отмечалось, под выборочным методом в статистике понимается такой метод наблюдения, при котором для определения типичных черт какой-либо совокупности изучаются не все единицы этой совокупности, а лишь их часть. Как бы тщательно ни производилась выборка, какой бы репрезентативной ни была выборочная совокупность (отобранная часть наблюдений), она неизбежно будет отличаться от всей генеральной (общей, исчерпывающей) совокупности. Таким образом, полного тождества результатов достичь не удается, и неизбежно остается некоторая неточность. Однако в нашем распоряжении имеются методы установления степени различий числовых характеристик обеих совокупностей и пределов возможных колебаний показателей при данном числе наблюдений. Как будет видно из последующего, значительную роль играет число наблюдений: чем больше число наблюдений, тем точнее отображается генеральная совокупность и тем меньше ошибка.

Так называемые средние ошибки являются мерой точности и достоверности любых статистических величин. Теория выборочного метода, наряду с обеспечением репрезентативности, практически сводится к оценке расхождений между числовыми характеристиками генеральной и выборочной совокупности, т. е. к определению средних ошибок и так называемых доверительных границ или интервалов. Средняя ошибка позволяет установить тот интервал, в котором заключено действительное значение производной величины при данном числе наблюдений, т. е. средняя ошибка всегда является конкретной. На размеры средней ошибки влияет не только число наблюдений, но и степень колеблемости, изменчивости признаков. Чем изменчивее изучаемое явление, тем больше будет его ошибка.

Это видно из формулы, по которой определяется средняя ошибка средней величины, обозначаемая буквой m. Она вычисляется, по формуле:

, где n — число наблюдений.

Между размерами сигмы (отражающей колеблемость явления) и размерами средней ошибки существует прямая связь. Между числом наблюдений и размерами средней ошибки существует обратная связь (пропорциональная не числу наблюдений, а квадратному корню из этого числа). Если вычислить среднюю ошибку для вариационного ряда, приведенного в табл. 9, где М = 62,0; N = 36; s = 1,8, то получим:

 

.

 

Определяя для средней арифметической (или относитель­ной) величины два крайних значения (минимально возмож­ное и максимально возможное), находят пределы, в которых может быть искомая величина генерального параметра. Эти пределы называютдоверительными границами.

Доверительные границы — границы средних (или относи­тельных) величин, выход за пределы которых вследствие слу­чайных колебаний имеет незначительную вероятность. Дове­рительные границы средней арифметической в генеральной совокупности определяют по формуле:

 

М _ген = M _выб ± tm_м.

 

Доверительные границы относительной величины в гене­ральной совокупности определяют по формуле:

 

Р _ген = P _выб ± tm_p,

 

где М _ген и Р _ген — значения средней и относительной величин, полученных для генеральной совокупности; M _выб и Р _выб — зна­чения средней и относительной величин, полученных для вы­борочной совокупности; m_м и т_р — ошибки репрезентативно­сти выборочных величин; t — доверительный критерий.

При определении доверительных границ сначала надо ре­шить вопрос о том, с какой степенью вероятности безошибоч­ного прогноза необходимо представить доверительные грани­цы средней или относительной величины.

Для большинства медико-биологических и медико-соци­альных исследований достаточна вероятность безошибочного прогноза р = 95 % и более. Избрав такую степень вероятно­сти, соответственно находят величину доверительного крите­рия по специальной таблице. Таким образом, доверитель­ный критерий t устанавливается заранее, при планировании исследования. Доверительные границы средней величины, вычисленные исходя из доверительной вероятности 0,95, со­ставляют М ± 2т. Это означает, что в 95 из 100 аналогичных выборок значение М будет находиться в указанных пределах (или на 95 % случаев гарантируется нахождение в этих преде­лах генеральной средней).

При необходимости получения более надежных гарантий доверительности выборочного показателя используется дове­рительная вероятность 0,99 (99 %), которой соответствует ко­эффициент t = 2,6. Утроенная средняя ошибка (t = 3) соответ­ствует доверительной вероятности 0,997 (99,7 %). Для получе­ния наиболее высокой надежности результатов исследования прибегают к вероятности 0,999 (99,9 %), соответствующей значению t = 3,3.

Доверительный интервал. Чем выше требования к доверительной вероятности (соот­ветствие выборочной средней генеральной средней), тем шире должен быть обеспечивающий такую вероятность интервал, называемый доверительным интервалом. Необходимость в оп­ределении доверительного интервала возникает при желании по материалам выборочного исследования (например, распро­страненность кариеса в двух дошкольных учреждениях) дать прогноз о распространенности изучаемого явления (кариеса) среди всех детей, посе­щающих дошкольные учреждения.

Интуитивно понятно, что если исследования будут продол­жены дальше, то значение определяемого показателя несколь­ко изменится в большую или меньшую сторону. Границы до­верительного интервала как раз и показывают, в какой степе­ни может измениться значение определяемого нами показате­ля с принятой нами вероятностью ошибки.

При небольшом числе наблюдений для вычисления дове­рительных границ с указанными доверительными вероятно­стями (0,95; 0,99 и 0,999) значение коэффициента t находят по специальной таблице Стьюдента. Очевидно, что в реальных исследованиях желательно иметь как можно меньший довери­тельный интервал при достаточно высокой доверительной ве­роятности.