Задачи на закрепление материала

 

Задача 1. Листы материала размером 6х13 надо раскроить так, чтобы получились заготовки двух типов: 800 заготовок размером 4х5 м и 400 штук заготовок размером 2х3 м. При этом расход материала должен быть минимальным. Способы раскроя материала и количество заготовок каждого типа, полученных при раскрое одного листа, даны в таблице:

 

 

Размер заготовок, м^2	Способы раскроя
I	II	III	IV
4 х 5 2 х 3

Решение. Пусть x_i – количество заготовок, раскроенных i -м способом. Тогда ограничение на количество заготовок:

(1)

Требование неотрицательности переменных:

 

. (2)

Целевая функция – минимизация количества расходуемых листов:

 

(3)

 

Ограничения (1-2) и целевая функция (3) образуют искомую модель.

Задача 2. Требуется определить все рациональные способы раскроя прямоугольника кожи размером 100 x 60 см на квадратные заготовки со сторонами 50, 40 и 20 см и указать величину отходов для каждого способа.

 

 

 

 

 

Способы раскроя	Заготовка со стороной 50 см	Заготовка со стороной 40 см	Заготовка со стороной 20 см	Величина отходов, см^2

Для данного материала и указанных заготовок существует шесть различных, рациональных способов раскроя.

Задача 3. При изготовлении парников используется материал в виде металлических стержней длиной 200 см. Этот материал разрезается на стержни длиной 120, 100 и 70 см.

Вопросы

1. Сколько существует рациональных способов раскроя?

2. Какое минимальное количество материала следует разрезать, чтобы выполнить заказ?

3. Сколько способов раскроя следует использовать при выполнении заказа?

Решение. Определяем все рациональные способы раскроя материала на заготовки. Таких способов оказывается пять.

 

Способы раскроя	Заготовка длиной 120 см	Заготовка длиной 100 см	Заготовка длиной 70 см	Величина отходов, см

Используя модель A для одного вида материала, тогда x_j - количество единиц материала, раскраиваемых по i-му способу.

Для ответа на первый вопрос задачи получаем следующую модель линейного программирования с критерием – минимум общего количества используемого материала.

 

	X1	X2	X3	X4	X5		RHS
Minimize
Заготовка 120 см						>=
Заготовка 100 см						>=
Заготовка 80 см						>=

Решая задачу, получаем следующий результат:

 

 

	X1	X2	X3	X4	X5		RHS
Minimize
Заготовка 120 см						>=		0,5
Заготовка 100 см						>=		-0,5
Заготовка 80 см						>=		-0,33
Solution– >

 

Ответы на вопросы

1. Существует пять рациональных способов раскроя.

2. Следует разрезать 134 единицы материала.

3. При выполнении заказа следует использовать три из пяти рациональных способа раскроя.

3.3. Задачи для самостоятельного решения

 

Задача 1. На складе предприятия имеются заготовки (стальные бруски) длиной 8,1 м. Из этих заготовок необходимо изготовить 100 комплектов более коротких заготовок. При этом в один комплект входят два бруска длиной 3 м и по одному бруску длиной 2 м и 1,5 м. Необходимо раскроить исходный материал так, чтобы получить требуемое количество комплектов коротких заготовок с минимальными отходами. Количество коротких заготовок, которое получается из одного исходного бруска при различных способах раскроя, и величины отходов по каждому способу раскроя заданы в таблицах:

 

Размер заготовки, м	Способ
1,5
Отходы, м	0,1	0,6	1,1	0,1	0,1	0,6	1,1	0,1	0,6

 

 

Задача 2. Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры. Всего имеется две партии материалов, причём первая партия содержит 400 листов, а вторая 250 листов фанеры. Из поступающих листов фанеры изготавливаются комплекты, включающие 4 детали 1-го типа, 3 детали 2-го типа и 2 детали 3-го типа. Один лист фанеры каждой партии может раскраиваться различными способами.

Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя, представлено в таблице:

 

 

Первая партия	Вторая партия
Способ раскроя   Детали				Способ раскроя   Детали

 

Требуется раскроить материал так, чтобы получить максимальное число комплектов.

Задача 3. Из прямоугольника железа размером 100 х 60 см необходимо изготовить квадратные заготовки со сторонами 50, 40 и 20 см. Эти заготовки нужны в качестве перегородок при изготовлении пластмассовых коробок для хранения инструментов. Чтобы сделать одну коробку, нужно иметь 4 заготовки со стороной 50 см, 6 заготовок со стороной 40 см и 12 заготовок со стороной 20 см. На складе находятся 100 листов материала.

Вопросы

1. Сколько существует рациональных способов раскроя?

2. Какое максимальное количество коробок можно изготовить при ус-ловии, что оставшиеся заготовки можно использовать при изготовлении следующей партии коробок?

3. Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?

4. Сколько листов материала нужно, чтобы изготовить одну коробку?

Задача 4. Существует три рациональных способа раскроя единицы материала A на заготовки трех типов. Эти же заготовки могут получены двумя рациональными способами при раскрое единицы материала В. Количество заготовок, получаемых по каждому способу, показано в следующей таблице.

 

Заготовки	Материал А	Материал В
Способ 1	Способ 2	Способ 3	Способ 1	Способ 2

 

Изготовленные заготовки используются для производства бытовой техники. В комплект поставки входит 4 заготовки первого типа, 3 заготовки второго типа и 7 заготовок третьего типа. На складе имеется 100 единиц материала первого типа и 300 единиц материала второго типа.

Вопросы

1. Сколько рациональных способов раскроя следует использовать?

2. Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить из имеющегося материала в предположении, что оставшиеся заготовки можно использовать при выполнении следующего заказа.

3. Сколько единиц материала 1 раскраивается по третьему способу?

4. Какое максимальное число комплектов заготовок можно изготовить из имеющегося материала, если число заготовок второго типа в комплекте увеличится до семи?

Задача 5. При раскрое деталей для производства единственного изделия на швейной фабрике используются два артикула ткани. Ширина ткани 1 м. Изделие собирается из двух деталей, причем каждая из этих деталей может быть получена путем раскроя ткани любого типа. Ткани можно раскраивать

тремя способами, выход деталей каждого вида из одного погонного метра ткани указан в следующей таблице.

	Ткань 1	Ткань 2
Способ 1	Способ 2	Способ 3	Способ 4	Способ 5	Способ 6
Деталь 1
Деталь 2

На фабрику ткани 1 поступает в два раза больше (по длине), чем ткани 2. Выход готовых изделий должен быть максимальным.

Вопросы

1. Сколько способов раскроя ткани 1 следует использовать?

2. Какая часть (в %) ткани 1 должна раскраиваться по способу 1?

3. На сколько (в %) изменится выход готовых изделий по сравнению с первоначальным, если на фабрику будет поступать равное количество двух артикулов тканей?

Задача 6. На производство поступила партия стержней длиной 250 и 190 см. Необходимо получить 470 заготовок длиной 120 см и 450 заготовок длиной 80 см. Отходы должны быть минимальны.

Вопросы

1. Какое количество стержней длиной 250 см надо разрезать?

2. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать?

3. Какова величина отходов (в см)? Оказалось, что количество стержней длиной 250 см ограничено и равно 200 шт.

4. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать в этом случае?

5. На сколько увеличится количество отходов (в см)?

Задача 7. Завод заключил договор на поставку комплектов отрезков стержней длиной по 18, 23 и 32 см. Причем количества отрезков разной длины в комплекте должны быть в соотношении 1: 5: 3. На сегодняшний день имеется 80 стержней длиной по 89 см. Как их следует разрезать, чтобы количество комплектов было максимальным?

Вопросы

1. Сколько существует рациональных способов раскроя?

2. Сколько комплектов стержней будет выпущено?

3. Какова при этом величина отходов (в см.)?