Глава 2. Модели производственных процессов

Этапы разработки моделей

Разработка экономико-математических моделей – многоэтапный процесс. Основными этапами процесса разработки моделей являются: постановка задачи, концептуализация, спецификация, идентификация, реализация модели, проверка адекватности модели, исследование (анализ) модели, оптимизация, заключительный синтез.

Рассмотрим содержание каждого из этих этапов.

1. Постановка задачи. Формулирование цели и выделение в изучаемом оригинале конечного числа свойств и процессов, наиболее существенных для решения поставленной задачи и необходимых, по мнению исследователя (разработчика модели) для достижения цели. Задание степени сходства модели и оригинала. Суть данного этапа состоит в том, чтобы ограничить и конкретизировать число возможных направлений и аспектов изучения оригинала.

2. Концептуализация. На этом этапе необходимо построить концептуальную модель изучаемого оригинала. Устанавливаются его внешние “входы” и “выходы”, определяется состав, структура и некоторые особенности функционирования. С остав оригинала представляется множеством его внутренних неделимых частей и непосредственно взаимодействующих с ними элементов окружающей среды. Структурой называется совокупность всех связей между этими элементами. Под функционированием оригинала понимается процесс изменения свойств его элементов во времени под воздействием внешних факторов и в результате взаимодействий между внутренними элементами.

3. Спецификация. Здесь определяются составы множества входных переменных и переменных состояния будущей математической модели и по возможности более строго и однозначно (насколько это возможно средствами вербального описания) задается моделирующее отображение системы-оригинала на модель.

4. Идентификация. Задача этого этапа заключается в установлении математических соотношений между переменными и , образующих структуру модели .

5. Реализация модели. Построение ее разрешающего оператора :

. (1.5)

Это дает возможность рассчитывать с помощью модели динамику переменных состояния на рассматриваемом промежутке времени , соответствующую данным входам и начальному состоянию Если аналитическое нахождение оператора затруднено, то строится реализация оператора F в виде программы для ЭВМ.

6. Проверка адекватности модели. На данном этапе устанавливают, в какой степени модель способна воспроизводить интересующие исследователя черты оригинала. Окончательная оценка пригодности модели может быть дана только на основе ее всестороннего анализа, сравнения с данными наблюдений и экспериментов и, самое главное, на основе опыта практического использования модели как инструмента проверки гипотез, прогнозирования, оптимизации и управления моделируемой системой.

7. Исследование модели. Процесс исследования модели включает как характеристику общих черт построения траектории таких, как существование и единственность, ограниченность, периодичность, устойчивость и др., так и более конкретное изучение зависимости решения от начального состояния , структуры модели и от входов . “Анализ чувствительности” модели включает совокупность приемов исследования динамических моделей, реализованных на ЭВМ. Результаты анализа чувствительности показывают, какие из начальных условий, какие связи между переменными и параметрами, а также какие из внешних факторов оказывают наиболее сильное (или незначительное) влияние на поведение модели. Это необходимо для того, чтобы исследователь мог решить, какие параметры должны определяться с высокой точностью при наблюдениях, экспериментах и на этапе идентификации, а какие могут задаваться относительно приближенно.

8. Оптимизация. На этом этапе рассматривается возможность регулирования параметров модели с целью оптимизации тех или иных характеристик оригинала, которые могут быть получены в результате реализации модели.

9. Заключительный синтез. Оцениваются полученные результаты — прежде всего, построенная имитационная модель — и намечаются перспективы для будущих исследований.

Математические модели достаточно широко используются при анализе экономических проблем. Поскольку экономика охватывает не только производственные процессы, но и производственные отношения, то при моделировании необходимо учитывать оба данных аспекта. Моделирование производственных процессов исследовано достаточно хорошо [1,2,3 и др. ]. В моделировании производственных отношений необходимо учитывать поведение людей и их интересы, что является достаточно сложным [4 ].

В экономических системах выделяют два основных уровня экономических процессов.

Первый уровень — производственно-технологический. Здесь происходит описание производственных возможностей изучаемых экономических систем. При математическом моделировании производственных возможностей экономической системы необходимо: 1) разбить ее на “элементарные” производственные единицы; 2) описать производственные возможности каждой из единиц; 3) описать возможности обмена ресурсами производства и продукцией между “элементарными” производственными единицами. Производственные возможности описываются агрегированием при помощи производственных функций различных типов, а при описании возможностей обмена используют балансовые соотношения [ 5 ].

На уровне социально-экономических процессов определяется, каким образом реализуются производственные возможности, описанные при моделировании производственно-технологического уровня экономической системы. В математических моделях выделяют специальные переменные - управления, значения которых определяют единственный вариант развития экономического

процесса. На уровне социально-экономических процессов определяется механизм выбора управляющих воздействий [ 6 ].

Таким образом, для описания функционирования экономической системы необходимо смоделировать оба уровня: производственно-технологический и социально-экономический.

Выделяют нормативные проблемы (к ним относятся задачи планирования), в которых описание социально-экономического уровня не является необходимым. В них необходимо указать, как надо задать управления, чтобы достичь наилучших в каком-то смысле результатов. При этом необходимо сформулировать критерий, по которому можно оценивать и сравнивать различные управления. Критерий (целевая функция) является функцией переменных модели изучаемой системы. Критерием может быть объем выпуска продукции, прибыль, затраты и др. Обычно предполагается, что имеется единственный критерий выбора управления системой. Ищется такое управление, чтобы критерий достигал максимального (в случае, когда критерий — выпуск продукции, прибыль и т. д.), или минимального (в случае затрат) значения. Такое значение управления находится методами оптимизации и называется оптимальным.

Изучаемая экономическая система моделируется в виде совокупности некоторого числа “элементарных” экономических единиц, каждая из которых характеризуется производственной функцией, устанавливающей связь между затратами тех или иных ресурсов в процессе производства и выпуском продукции.

Ниже приводятся основные типы моделей, которые обеспечивают отработку основных принципов моделирования и способствуют созданию устойчивых навыков у тех, кто обучается этому процессу.

 

Общая формулировка модели

 

Рассматривается некоторый производственный объект. Для выпуска продукции объект использует материальные, трудовые и сырьевые ресурсы, а также имеющееся в его распоряжении производственное оборудование. Предполагается, что управляющий орган экономического объекта владеет информацией о возможном объёме поступающих со стороны ресурсов, о величине экономических показателей, о нормах расхода ресурсов и ожидаемой прибыли от реализации каждого вида выпускаемой продукции. Задача состоит в разработке модели формирования оптимального ассортимента выпуска для данного экономического объекта. Под оптимальным ассортиментом можно понимать либо выпуск, дающий максимальную прибыль, либо выпуск, требующий минимальных затрат, либо выпуск продукции, максимизирующий объём продаж.

Модель содержит три типа ограничений:

 

I – на учёт производственных возможностей;

II – на учёт технико-экономических показателей;

III – на спрос.

 

Ограничения группы I формализовано записываются в виде:

 

 

Здесь j – номер продукта, j = 1.. n;

n – число выпускаемых продуктов;

i – номер ресурса, i =1.. m;

m – число используемых ресурсов;

a_ij – нормы расхода i -го ресурса на выпуск единцы j -го продукта;

b_i – общее количество i -го ресурса;

x_j – объём выпуска j -го продукта.

 

Ограничения II группыформализовано записываются в виде:

 

Где l – порядковый номер экономического показателя, l = 1.. L;

L – число учитываемых экономических показателей;

d_lj – величина l -го показателя, оценивающего j -й продукт;

D_l – расчётная величина l -го показателя, принимаемого экономическим объектом для оценки его деятельности.

 

Ограничения III группы формализовано записываются в виде:

 

– интервал возможного изменения выпуска продукции j -го вида.

В качестве функции цели чаще всего используется максимизация прибыли:

,

где c_j – прибыль от реализации продукции j -го вида.

В качестве функции цели можно рассматривать также минимизацию затрат, максимизацию выпуска комплектной продукции (критерии Канторовича).

Рассмотрим модель выбора набора технологий, позволяющих при ограниченных ресурсах получить максимальное число комплектов. Предполагается, что мерой использования технологий принята интенсивность (в единицах измерения времени). Время рассматривается как один из видов ресурсов.

j – порядковый номер вида технологии;

n – число видов технологий;

x_j – интенсивность использования j -й технологии;

i – порядковый номер вида (комплектующего изделия);

l – число видов выпускаемых изделий;

l_i – число деталей i -го вида, необходимых для комплектования единицы выпускаемой продукции;

s – вид ресурса (сырья, энергии и т.д.);

k – число видов выделяемых ресурсов;

b_s – объём выделяемого ресурса s -го вида;

a_ij – норма выпуска деталей i -го вида при использовании j -й технологии с единичной интенсивностью;

b_sj - норма использования (расхода) s -го вида ресурсов при применении

j -й технологии с единичной интенсивностью;

z - число единиц выпускаемой комплектной продукции.

Математическая модель технологий, максимизирующих число комплектов, имеет вид:

 

Оптимального ассортимента

 

Задача 1. Компания по производству игрушек изготавливает две различные игрушки А и В. При изготовлении каждая игрушка должна обрабатываться тремя разными машинами. Эти машины могут обрабатывать только одну игрушку в каждый момент времени. Изготовление одной единицы А требует 40 мин. работы 1-й машины, 20 мин. – 2-й и 10 мин. – 3-й. Для изготовления одной единицы В необходимо 20 мин. – 1-й, 30 мин. – 2-й и 30 мин. – 3-й. Каждая машина может работать 40 часов в неделю. Игрушка А приносит 4 руб. прибыли на единицу, а В – 3 руб. Полагают, что спрос на эти игрушки превышает предложение компании.

Построить математическую модель для определения того, сколько каждого вида игрушек должна делать компания каждую неделю, чтобы максимизировать прибыль?

Решение. Обозначим через x_a объем выпуска игрушки А, а через x_b – объем выпуска игрушки В. Тогда 40 x_a мин. – общее время работы 1-й машины по обработке всех игрушек А, 20 x_b мин. – общее время работы 1-й машины по обработке всех игрушек В. Аналогично для 2-й машины: 20 x_a мин. – на игрушки А, 30 x_b мин. – на игрушки В. И для 3-й машины: 10 x_a мин. – на игрушки А, 30 x_b мин. – на игрушки В. Отсюда получим ограничения группы I – на временные ресурсы каждой машины:

(1)

Ограничения II и III групп для данной задачи не определены.

Построим целевую функцию. Задача состоит в максимизации прибыли компании, поэтому в качестве целевой функции возьмем выражение, описывающее прибыль:

(2)

Здесь 4 x_a – общая прибыль, получаемая от реализации игрушки вида A в количестве x_a, соответственно 3 x_b – общая прибыль, получаемая от реализации игрушки вида B в количестве x_b.

Таким образом, целевая функция (2) и ограничения (1) представляют собой искомую математическую модель.

Задача 2. Механический цех может изготовить за смену 600 деталей №1 или 1200 деталей №2. Производственная мощность термического цеха, куда эти детали поступают на обработку в тот же день, позволяет обработать за смену 1200 деталей №1 или 800 деталей №2. Цены на детали одинаковы. Определить ежедневную производственную программу выпуска деталей, максимизирующую товарную продукцию предприятия, для каждого из следующих дополнительных условий:

a) оба цеха работают одну смену;

b) механический цех работает три смены, а термический – две смены;

c) предприятие работает в две смены, при этом деталей №1 должно быть изготовлено не более 800 шт., а деталей №2 – не более 1000 шт.

Решение. Обозначим через x₁ объем выпуска деталей №1, x₂ – деталей №2. Для всех трех модификаций задачи целевая функция остается неизменной – максимум выпуска продукции, то есть:

(1’)

При одинаковой целевой функции модификации задачи будут иметь разные ограничения.

a) Примем всю продолжительность одной смены за 1. Тогда - доля смены, в течение которой в механическом цехе будут производиться x₁ деталей №1, а - доля смены, в течение которой в том же цехе будут производиться x₂ деталей №2. Тогда ограничение на общий объем рабочего времени механического цеха будет выглядеть следующим образом:

(а2)

Аналогичное ограничение построим и для термического цеха:

(а3)

Ограничения (а2-а3) и целевая функция (1) составляют искомую математическую модель для варианта задачи (а).

 

b) Как и для варианта (а) примем всю продолжительность одной смены за 1. Тогда получим следующие ограничения на рабочее время обоих цехов:

 

механический – (b2)

термический – (b3)

 

Ограничения (b2-b3) и целевая функция (1) составляют искомую математическую модель для варианта задачи (b).

 

c) Как и для вариантов (а) и (b) примем всю продолжительность одной смены за 1. Тогда получим следующие ограничения на рабочее время обоих цехов:

механический – (с2)

термический – (с3)

Кроме того, в данном варианте в задаче присутствуют ограничения III вида на спрос, которые выражаются следующим образом:

 

, (c4)

 

Ограничения (с2-с4) и целевая функция (1) составляют искомую математическую модель для варианта задачи (с).

Задача 3. Механический завод при изготовлении трёх различных типов деталей использует токарные, фрезерные и строгальные станки. При этом обработку каждой детали можно вести тремя различными технологическими способами.

В таблице указаны ресурсы (в станко-часах) каждой группы станков, нормы расхода времени при обработке детали на соответствующем станке по данному технологическому способу, а также прибыль от выпуска единицы детали каждого вида:

 

Детали	I	II	III	Ресурсы времени
Технологические способы
Станки	Токарный Фрезерный Строгальный	0,4 0,5 1,3	0,9 - 0,5	0,5 0,6 0,4	0,4 1,0 -	0,3 0,2 1,5	- 0,5 0,3	0,7 0,3 -	- 1,4 1,0	0,9 - 0,5
Прибыль

 

Составить оптимальный план загрузки производственных мощностей, обеспечивающий максимальную прибыль.

Считая, что между количеством выпускаемых деталей должно выполняться соотношение 1:2:4, определить производственную программу, обеспечивающую изготовление максимального числа комплектов.

Решение. Обозначим через x_ij объем выпуска i -той детали j -тым технологическим способом, а через z – количество выпускаемых комплектов. Тогда ограничения на количество комплектов будут выглядеть следующим образом:

(3)

Блок ограничений на ресурсы представлен ограничениями на количество рабочего времени каждого станка:

 

токарный:

 

 

фрезерный:

 

(4)

 

строгальный:

 

 

Построим целевую функцию. Задача состоит в максимизации прибыли компании. Поэтому в качестве целевой функции получим следующее выражение:

 

(5)

 

Таким образом, целевая функция (5) и ограничения (3-4) представляют собой искомую математическую модель.

 

Дополнительные упражнения

 

Задача 1. На звероферме могут выращиваться песцы, чёрно-бурые лисы, нутрии и норки. Для их питания используются три вида кормов. В таблице приведены нормы расхода кормов, их ресурс в расчёте на день, а также прибыль от реализации одной шкурки каждого зверя.

 

Вид корма	Нормы расхода кормов (кг/день)	Ресурс кормов (кг)
Песец	Лиса	Нутрия	Норка
1.3. II III
Прибыль руб./шкурка

 

Построить математическую модель для определения того, сколько и каких зверьков следует выращивать на ферме, чтобы прибыль от реализации шкурок была максимальной.

Задача 2. Автомобильный завод выпускает машины марок А и В. Производственные мощности отдельных цехов или отделов приведены в следующей таблице:

 

№	Наименование цехов или участков	Количество машин за год
Типа А	Типа В
	Подготовительное производство
	Кузовной цех
	Производство шасси
	Производство двигателей
	Сборочный цех
	Участок испытаний

 

Определить наиболее рентабельную производственную программу при следующих дополнительных условиях:

а) прибыли от выпуска одной машины типа А и В соответственно равны 2000 и 2400 рублей;

б) производственная мощность 1-го и 5-го цехов увеличена в 1,5 раза за счёт использования сверхурочных работ, что приводит к уменьшению прибыли от выпуска одной машины типа А до 1500 рублей и типа В – до 2100 рублей (для «сверхплановых» автомобилей).

Задача 3. Механический завод при изготовлении двух типов деталей использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя различными технологическими способами. Полезный фонд времени работы каждой группы оборудования (в станко-часах), нормы расхода времени при обработке детали на соответствующем оборудовании по данному технологическому способу и прибыль от выпуска единицы деталей каждого вида даны в таблице:

 

Детали	I	II	Ресурсы времени
Технологические способы
Обору-дование	Токарное Фрезерное Сварочное	-			-
Прибыль

 

Составить оптимальный план “загрузки оборудования”, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

Задача 4. Предприятие может выпускать продукцию по трём технологическим способам. При этом за 1 час по 1-му способу оно выпускает 20 единиц продукции, по 2-му – 25 единиц и по 3-му – 30 единиц продукции.

Количество производственных ресурсов, расходуемых за час при различных способах производства, и наличный объем ресурсов приведены в таблице:

 

Факторы Способ производства	Сырьё	Парк станков	Рабочая сила	Энергия	Транспорт	Прочие расходы
I II III
Располагаемые ресурсы факторов

 

Спланировать работу предприятия из условия получения максимума выпуска продукции, если известно, что общее время работы предприятия составляет 30 часов.

Задача 5. Предприятие располагает тремя видами ресурсов А, Б, В, в количествах, равных соответственно 34, 16, 22 тыс. единиц. Существует четыре способа производства продукции. Расход каждого вида ресурсов в течение месяца по каждому способу производства известен и приведён в таблице.

 

способ производства ресурсы	I	II	III	IV
А Б В
Количество выпускаемой в течение месяца продукции, тыс. ед.

 

Определить оптимальную производственную программу таким образом, чтобы выпуск единиц продукции был бы максимальным;

Задача 6. В хозяйстве производится зерно, кукуруза на силос и содержится крупный рогатый скот. Для выращивания сельскохозяйственных культур выделяется 10 тыс. га пашни, для содержания скота – 1 тыс. га естественных пастбищ, для производства всех работ – 200 тыс. человеко-дней трудовых ресурсов. На содержание одной коровы затрачивается 25 человеко-дней труда и 40 кормовых единиц, при этом прибыль получается 460 рублей в год. Для корма используются естественные пастбища, а также может отводиться весь урожай кукурузы на силос и до 20% валового сбора зерна. Остальные показатели производства приведены в таблице:

 

Наименование культуры	Урожайность с 1 га, ц	Затраты труда на 1 га, чел-дней	Коэффициент перевода на 1 кормовую ед.	Прибыль с 1ц, руб.
Зерновые Кукуруза на силос Естественные пастбища		-	1,1 0,2 0,5	-

 

Требуется найти оптимальное сочетание производства продукции, дающее хозяйству максимальную прибыль.

Задача 7. Фирма производит три продукта: ротационные покрышки, корпуса подшипников и листовое железо. Управляющий столкнулся с проблемой составления наилучшего производственного плана на следующий месяц. Совместно со своими сотрудниками управляющий пришёл к следующей таблице данных на планируемый месяц:

 

Продукт	Время на ед. продукции (ч)	Количество металла на ед. продукции (кг)	Цена ед. продукции	Максимальный прогнозируемый спрос (шт.)
Ротационные покрышки   Корпуса подшипников   Листовое железо	2,5   1,0   2,0	3,25   1,50   2,00

 

Было определено, что в планируемом месяце компания имеет не более 900 часов производственного времени и нет ограничений на поставки металла. Каждый час производственного времени будет стоить 7 тыс.руб. (оплата труда), а каждая единица металла – 2 тыс. руб. Расчет за поставляемую продукцию производится в конце планируемого месяца. Объем свободных денежных средств (для закупок сырья и оплаты рабочего времени) на начало месяца составляет 14960 тыс. руб. Распределение продукции может быть осуществлено в течение этого же месяца.

Каким должен быть производственный план следующего месяца, максимизирующий прибыль?

Процесса смешивания

 

Задача 1. Из четырёх видов основных материалов (медь, цинк, свинец, никель) составляют три вида сплавов латуни: обычный, специальный и для художественных изделий. Цены единицы веса меди, цинка, свинца и никеля составляют 0,8 руб., 0,6 руб., 0,4 руб. и 1,0 руб., а единицы веса сплава, соответственно, 2 руб., 3 руб., 4 руб.

Сплав для художественных изделий должен содержать не менее 6% никеля, не менее 50% меди и не более 30% свинца; специальный – не менее 4% никеля, не менее 70% меди, не менее 10% цинка и не более 20% свинца. В обычный сплав компоненты могут входить без ограничения.

Производственная мощность предприятия позволяет выпускать (за определённый срок) не более 400 ед. веса обычного сплава, не более 700 ед. веса специального сплава и не более 100 ед. веса сплава для художественных изделий.

Найти производственный план, обеспечивающий максимальную прибыль.

Решение. Обозначим через x_ij долю i -той компоненты в j -той смеси. Тогда получим следующие ограничения модели:

 

(1)

 

Ограничения на количество компонент в смесях:

 

(2)

 

Требование неотрицательности переменных:

 

. (3)

Целевая функция представляет собой сумму величин прибыли, получаемой с единицы веса каждого сплава:

 

(4)

 

Ограничения (1-3) и целевая функция (4) представляют собой модель для получения искомой информации.

Задача 2. Госпиталь стремится минимизировать стоимость мясного питания (говядина, свинина и баранина). Больничный рацион должен содержать, по крайней мере, 1,5 фунта жирного мяса на человека в неделю. Говядина, которая стоит 1,25 доллара за фунт, содержит 20% жирной и 80% постной части. Свинина – 1,5 доллара за фунт и содержит 60% жирной и 40% постной части, баранина стоит 1,4 доллара за фунт и состоит из 30% жирной и 70% постной части. Госпиталь имеет холодильную площадь не более чем на 900 фунтов мяса. В госпитале на мясной диете 200 пациентов. Сколько фунтов каждого вида мяса необходимо покупать еженедельно для того, чтобы обеспечить необходимую калорийность рациона при минимальной стоимости?

Решение. Пусть x_i – количество мяса i -го вида, закупаемого госпиталем. Тогда получим следующие ограничения модели. Ограничение на объем холодильной камеры:

 

(1)

 

Ограничение на калорийность рациона:

(2)

 

Требование неотрицательности переменных: . (3)

Целевая функция – минимизация расходов на закупки:

 

(4)

 

Целевая функция (4) и ограничения (1-3) образуют искомую модель.

2.3. Задачи для самостоятельного решения

 

Задача 1. Потребность в азотных удобрениях составляет 10 млн. т. Их можно удовлетворить за счёт производства двух продуктов: аммиачной селитры и аммиачной воды. Для их производства необходим аммиак, общий расход которого для удовлетворения соответствующих нужд в плановом году не может превышать 8 млн. тонн. Технологические нормы материальных затрат, удельные текущие расходы и капитальные вложения в производство каждого из продуктов даны в таблице:

 

Химический продукт	Технологические нормы затрат аммиака, т/т	Удельные капитальные вложения, руб./т	Себестоимость единицы продукта, руб./т
Аммиачная селитра Аммиачная вода	0,6 1,0	3,0 6,0	7,0 6,5

 

Определить план производства селитры и аммиачной воды в плановом году, необходимых для удовлетворения потребности народного хозяйства в азотных удобрениях, с наименьшими суммарными затратами.

Решить задачу при знании нормативной эффективности капиталовложений 0,1.

Проследить, как отражаются на оптимальном плане изменения значений нормативной эффективности капиталовложений от 0,1 до 0,3.

Задача 2. Нефтеперерабатывающий завод получает 4 полуфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекингбензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. л изопентона. В результате смешивания этих четырёх компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина:

 

сорт А 2: 3: 5: 2

сорт В 3: 1: 2: 1

сорт С 2: -: 1: 3

 

Стоимость 1 тыс. л указанных сортов бензина составляет соответственно 120 руб., 100 руб. и 150 руб.

Определить план смешивания компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции.

Определить оптимальный план смешивания из условия максимального использования компонентов.

Задача 3. Компания по производству удобрений может произвести в текущем месяце 1400 т нитратов, 1600 т фосфатов и 1200 т поташа. Это количество имеется в распоряжении или уже заказано и не может быть получено в большом количестве, пока не пройдут следующие 30 дней. Необходимо определить способы смешивания активных ингредиентов с определёнными инертными ингредиентами, предложение которых не ограничено, в два основных удобрения, который позволит максимизировать прибыли в текущем месяце.

Двумя основными удобрениями являются тип 1 (5:10:10) и тип 2 (10:10:5). Числа в скобках представляют процентное отношение (по весу) нитратов, фосфатов и поташа соответственно (оставшуюся долю составляют инертные ингредиенты).

Цены ингредиентов показаны в таблице:

 

Ингредиенты удобрения	Цена за тонну
Нитраты Фосфаты Поташ Инертные удобрения

 

Затраты смешения, упаковки и продажи одинаковы для обоих смесей и составляют 15 долларов за тонну. Цены на удобрения, по которым компания может их реализовать, в настоящее время составляют 50 долларов за тонну типа 1 и 55 долларов для типа 2.

Необходимо определить, сколько производить каждого типа смеси в этом месяце, чтобы максимизировать общую прибыль.

Задача 4. «Южная алкогольная корпорация» импортирует три сорта виски – Ирландское, Шотландское и Канадское. Они смешивают их согласно рецептам, устанавливающим максимум или минимум процентного содержания Ирландского и Канадского в каждой смеси:

 

Смесь	Спецификация	Цена на 1/5 галлона
Old Oierhoul Highband Spec Young Frezy	Не меньше 60% Ирландского Не больше 20% Канадского   Не больше 60% Канадского Не меньше 15% Ирландского   Не больше 50% Канадского	6,80     5,70     4,50

 

Стоимость и запасы трёх основных видов виски приведены в таблице:

 

Виски	Наличие виски, 1/5 галлона в день	Стоимость 1/5 галлона
Ирландское Шотландское Канадское

 

Составить модель, позволяющую определить, сколько производить каждого типа смеси, чтобы получить максимальную прибыль.

Задача 5. Животноводческая ферма имеет возможность закупать корма 4-х видов по различным ценам. В кормах содержатся питательные вещества 3-х видов, необходимые для кормления коров. Требуется составить еженедельный рацион кормления коровы, обеспечивающий с минимальными затратами нормы содержания питательных веществ.

Данные, необходимые для составления рациона, приведены в таблице.

Содержание веществ в кормах указано в килограммах на тонну.

 

Корма     Вещества	Корм 1	Корм 2	Корм 3	Корм 4	Нормы содержания веществ (в кг) в еже-недельном рационе коровы
А					Не менее 5
В					Не менее 3, не более 4
С					Не менее 8, не более 10
Цена 1 т корма в руб.

 

Вопросы

1. Какое количество корма 1 следует закупить (в кг) для составления еженедельного рациона кормления коровы?

2. Какое количество корма 4 следует закупить (в кг) для составления еженедельного рациона кормления коровы?

3. Какой общий вес еженедельного рациона коровы (в кг)?

4. Каковы минимальные затраты на покупку кормов для еженедельного рациона одной коровы (в руб.)?

5. На сколько возрастут затраты, если еженедельный рацион должен содержать не менее 6 кг вещества А?

6. До какой величины должна возрасти цена на корм 4, чтобы использование этого корма оказалось невыгодным?

Задача 6. В аптеке продаются поливитамины пяти наименований. Каждый поливитамин содержит витамины и вещества, наиболее важные дл