Випадкові величини і їхні закони розподілу

Тема 3. Поняття випадкової величини. Універсальні закони розподілу

 

Випадковою називається така величина, що в результаті досліду може прийняти те або інше значення, невідомо заздалегідь, яке саме (наприклад, число очків, число пасажирів у трамваї, температура повітря, час напрацювання на відмову технічного устрою). Випадкову величину позначають прописною літерою латинського алфавіту X, Y або Z, а будь-яке її значення - відповідною малою літерою x, y або z.

Розрізняють дискретні й безперервні випадкові величини.

Дискретною називається така випадкова величина, число значень якої скінченне, або нескінченне, але рахункове (яка може приймати тільки окремі значення).

Безперервною називається така випадкова величина, число значень якої нескінченне навіть на невеликому інтервалі.

Для повної характеристики випадкової величини необхідно знати всі можливі її значення, а також імовірності появи цих значень у результаті досліду.

Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке правило, що дозволяє знаходити ймовірності різних подій, пов'язаних з випадковою величиною, зокрема, імовірність того, що вона прийме якесь значення або потрапить у якийсь інтервал своїх значень.

Найпростішим законом розподілу є закон розподілу дискретної випадкової величини Х, називаний рядом розподілу. Він являє собою таблицю, у верхньому рядку якої перелічені всі значення випадкової величини х₁, х₂, …, х_n у порядку їхнього зростання, а в нижньої - імовірності появи цих значень р₁, р₂, …, р_n:

хi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

 

де p_i = Р{X=x_i}.

Оскільки події {X=x₁}, {X=x₂},…,{X=x_n} неспільні й утворюють повну групу, сума їхніх ймовірностей дорівнює одиниці åp_i =1 (ця одиниця розподілена між значеннями Х). Ряд розподілу може бути заданий і у вигляді графіка:

 

 

Рис. 3.1 – Графічна інтерпретація ряду розподілу.

 

Найбільш загальною формою закону розподілу для всіх випадкових величин є функція розподілу.

 

Функція розподілу

Для характеристики як безперервних так і дискретних випадкових величин зручніше користуватися не ймовірністю події X=x_i (тому що значень x_i може бути багато), а ймовірністю події X < x.

Функція розподілу випадкової величини Х дорівнює імовірності того, що випадкова величина Х прийме значення, менше x:

F(х) = P{X < x} (3.1)

Геометрично функція розподілу – це імовірність того, що значення випадкової величини потрапить лівіше х_i.

 

 

Рис. 3.2 – Розташування значень X < x

Функція розподілу дискретної випадкової величини являє собою розривну, східчасту функцію, що має перегони в точках, що відповідають можливим значеннямх₁, х₂, …, х_nвипадкової величини Х, які дорівнюють ймовірностямр₁, р₂, …, р_nцих значень.

У випадку безперервної випадкової величини функція розподілу звичайно має вигляд плавної кривої.

 

Щільність розподілу

Нехай є безперервна випадкова величина Х з функцією розподілу F(х).

 

 

Рис. 3.3 - Функція розподілу безперервної випадкової величини

 

Говорити про розподіл ймовірностей між значеннями безперервної випадкової величини нема рації, тому що число її значень нескінченно навіть на невеликому інтервалі, й імовірність того, що безперервна випадкова величина прийме одне-єдине своє значення x_i дорівнює нулю. Тому, характеризуючи безперервну випадкову величину, завжди говорять про влучення її значень у той чи інший інтервал. З рисунка 3.3 видно, що імовірність влучення Х в інтервал Dх₁ більше, ніж в інтервал Dх₂, оскільки приріст функції розподілу DF(х₁) > DF(х₂).

З математики відомо, що

Таким чином, закон розподілу ймовірностей безперервних випадкових величин зручніше визначати завданням не функції розподілу F(х), а щільності розподілу ймовірностей f(х), що являє собою похідну від F(х) по х:

(3.2)

Передбачається, що F(x) безперервна й диференційована.

Щільністю розподілу випадкової величини Х у точці х називається похідна функції розподілу Х у цій точці.

На графіку щільності розподілу ймовірність представляється площею.

 

 

Рис. 3.4 – Графік щільності розподілу

 

Властивості щільності розподілу ймовірностей:

1. Щільність розподілу невід’ємна, тобто f(x) ³ 0 як похідна неубутної функції.

2. Інтеграл від щільності розподілу в нескінченних межах дорівнює одиниці

3. Імовірність влучення безперервної випадкової величини в інтервал (х₁, х₂)

.

 

4. Функція розподілу визначається співвідношенням:

.

Функцію розподілу F(x) іноді називають інтегральним законом розподілу, а щільність розподілу f(x) - диференціальним законом розподілу.