Поняття про центральну граничну теорему

Центральна гранична теорема - це загальна назва групи теорем, що стосуються законів розподілу суми випадкових величин, зміст яких зводиться до наступного:

закон розподілу суми незалежних випадкових величин наближається до нормального закону розподілу при необмеженому збільшенні числа доданків, якщо всі величини мають кінцеві математичні сподівання й дисперсії й жодна з величин за значенням різко не відрізняється від інших.

Познайомимося із двома теоремами.

Теорема 1. Якщо незалежні Х₁, Х₂,… Х_n мають той самий закон розподілу з математичним сподіванням m і дисперсією D, то при необмеженому збільшенні n закон розподілу суми Х₁ + Х₂ +…+Х_n необмежено наближається до нормального.

Теорема 2 (центральна гранична теорема Ляпунова). Якщо випадкова величина Y = Х₁ + Х₂ +…+Х_n, де вплив кожного з доданків на всю суму рівномірно малий, то величина Y має розподіл, близький до нормального, і тим ближче, чим більше n.

Дослід показує, що закон розподілу суми незалежних випадкових величин, порівняних за своїм розсіюванням, досить швидко наближається до нормального. Уже при числі доданків порядку десяти закон розподілу суми можна замінити нормальним. При цьому коштовно те, що закони розподілу випадкових величин, які додаються, можуть бути будь-якими, заздалегідь невідомими.

Багато випадкових величин можна розглядати як суму незалежних доданків. Наприклад, помилки вимірювань, відхилення розмірів деталей, число продаж деякого товару, обсяг прибутку від реалізації, валютні курси і т. інше.

Якщо є доданки X_i, що роблять переважний вплив на величину Y, то робити ствердження про нормальний розподіл Y не можна. У цьому випадку закон розподілу Y буде визначатися композицією законів розподілу доданків, вплив яких на Y великий.

 

Закон рівномірної щільності

Безперервна випадкова величина Х має рівномірний розподіл на дільниці від a до b, якщо її щільність розподілу на цій дільниці постійна:

(5.21)

Наприклад, помилка Х при грубому вимірюванні, яка може приймати з постійною щільністю імовірності будь-яке значення між двома сусідніми цілими діленнями. Грубий вимір відрізняється від точного в тім, що результат грубих вимірів при повторенні завжди той самий; при точному ж вимірі - результат від разу до разу змінюється. Іншим прикладом рівномірного розподілу є абсциса навмання поставленої точки на відрізку [a, b].

Визначимо числові характеристики випадкової величини, розподіленої рівномірно.

 

 

Математичне сподівання:

(5.22)

 

Дисперсія:

 

(5.23)

 

Середнє квадратичне відхилення:

 

(5.24)

 

Визначимо ймовірність влучення значень рівномірно розподіленої випадкової величини на інтервал (a, b):

 

(5.25)

 

Функція рівномірного розподілу:

 

. (5.26)