Математическая модель процесса резания металлов

 

Создание математической модели для определения оптимальных режимов резания базируется на единстве основных принципов построения металлорежущего оборудования, закономерностей, управляющих работой этого оборудования, а также на единстве физических явлений, имеющих место в процессе резания металлов на разных станках и различными инструментами.

В общем случае постановка задачи оптимизации режимов обработки включает:

· выбор искомых параметров;

· определение множества их возможных значений;

· выбор анализируемого набора выходных параметров процесса; установление функциональных зависимостей между искомыми и выходными параметрами при фиксированных значениях неуправляемых параметров;

· выделение целевой функции;

· назначение диапазонов возможных значений выходных параметров.

Набор искомых параметров может быть представлен в виде некоторого множества Х={х₁, х₂,..., х_n}.

Тогда задача расчета оптимальных режимов резания сводится к следующей задаче математического программирования:

F(x) → min(max),

R_i (x) ≤ R_i , i = 1, 2,..., m

xÎ{X},

где F(x) - зависимость для принятого критерия оптимальности;

R_i (x) - значение i- й характеристики процесса резания в зависимости от значений искомых параметров х из некоторого заданного множества Х;

R_i - заданное предельное значение i- й характеристики процесса резания.

В зависимости от вида и сложности представления функций F(x) и R_i (x) используют различные математические модели расчета режимов резания. Использование различных математических моделей приводит к необходимости разработки разнообразных методов и алгоритмов решения рассматриваемой задачи.

Анализ рассмотренных видов и критериев оптимальности показывает, что при оптимизации по двум элементам режимов резания n и s без изменения глубины резания, стойкости инструмента и других технических факторов эти оценочные функции при введении ряда упрощений выражаются через n и s достаточно просто. Так можно записать

 

, (27)

 

с₁ - постоянная величина, не зависящая от режимов резания n и s.

Для минимального машинного времени можно записать

 

(28)

 

где l_p.x - длина рабочего хода.

Выбранные и описанные выше технические ограничения, отражающие с определенной степенью точности физический процесс резания в совокупности с критерием оптимальности образуют математическую модель процесса резания.

При определении режимов резания широкое применение для двух элементов n и s имеет метод линейного программирования, общая задача которого состоит в определении неотрицательных значений переменных, удовлетворяющих системе ограничений в виде линейных равенств и неравенств и обеспечивающих наибольшее или наименьшее значение некоторой линейной функции - критерия оптимальности.

Таким образом, первая задача, которая должна быть решена, - это приведение всех технических ограничений и оценочной функции к линейному виду, т.е. необходимо их логарифмировать. Но до логарифмирования произведем в этих уравнениях и неравенствах некоторые преобразования.

Входящая в уравнения и неравенства величина s в ряде случаев имеет достаточно малые значения, и ей будут соответствовать отрицательные логарифмы. Для того чтобы исключить возможность появления отрицательных логарифмов, умножим во всех уравнениях и неравенствах технических ограничений и критерия оптимальности величину s на 1000 и произведем соответствующие преобразования.

В результате получим:

Для ограничения (5):

 

. (29)

 

Для ограничения (8):

 

. (30)

 

Для ограничения (13):

 

(31)

 

Для ограничения (17):

 

(32)

 

Для ограничения (21):

 

(33)

 

Для ограничения (22):

 

(34)

 

 

Для ограничения (23):

 

(35)

 

Для ограничения (24):

 

. (36)

 

Для уравнения оценочной функции:

 

(37)

 

Логарифмируем правые и левые части (29)-(36). В результате получаем:

Для ограничения (5):

 

. (38)

 

Для ограничения (8):

 

(39)

 

Для ограничения (13):

 

. (40)

 

Для ограничения (17):

 

(41)

 

Для ограничения (21):

 

. (42)

 

 

Для ограничения (22):

 

.(43)

 

Для ограничения (23):

 

(44)

 

Для ограничения (24):

 

. (45)

 

Для уравнения оценочной функции:

(46)

 

Обозначив через х₁ = ln (n), x₂ = ln (1000 s), получим следующую математическую модель оптимального режима резания:

 

(47)

 

Задача определения оптимального режима резания сводится к отысканию среди всевозможных неотрицательных значений х₁ и х₂ системы таких значений х_1опт и х_2опт, при которых линейная функция принимает максимальное значение f _max. Математическая модель процесса резания может быть изображена в графическом виде. В этом случае каждое техническое ограничение представляется граничной прямой, которая определяет полуплоскость, где возможно существование решений системы неравенств. Граничные прямые, пересекаясь, образуют многоугольник, внутри которого любая точка удовлетворяет всем без исключения неравенствам. Поэтому этот многоугольник принято называть многоугольником решений.

Теория линейного программирования показывает, что экстремальное значение оценочной функции (при выпуклом многоугольнике решений) обеспечивается для х₁ и х₂, находящихся в точке, лежащей на одной из граничных прямых или их пересечении. Для определения оптимального решения задачи, заданной системой линейных уравнений и неравенств, обычно используется симплекс-метод.

Эта же задача может решаться графически. Оценочная функция f(х)=х₁ + х₂ изображается прямой, перпендикулярной к вектору максимизации М(1,1). Так как направление вектора М есть направление возрастания линейной функции f ₍х), то следует ожидать, что в первой точке касания с многоугольником решения она примет минимальное значение f _min, а в последней точке - максимальное значение f _maх, а координаты этой точки будут являться оптимальным решением системы. По найденным значениям X_2опт и X_3опт находятся искомые величины:

число оборотов шпинделя

, (48)

подачи на оборот

, (49)

 

 

 

 

Рисунок 2 – График математической модели.

 

Решение данной задачи (определение оптимальных режимов резания) возможно с применением ЭВМ. При аналитическом способе решения задачи можно использовать ПОИСК РЕШЕНИЯ в Excel. Графический способ решения задачи реализуется в среде MathCAD.

После определения оптимальных режимов резания при точении на основании составленной математической модели процесса резания проверяем свои расчёты с помощью программы «Оптима»

Пример.

Рассчитать наивыгоднейшие режимы резания при точении, обеспечивающие наибольшую производительность процесса.

Таблица 1 – Исходные данные

Диаметр заготовки D, мм	Диаметр после обработки d, мм	Длина обработки L1, мм	Обрабатываемый материал	Твёрдость обрабатываемого материала НВ	Способ установки	Материал режущей части	Угол φ1	Вид обработки	Модель станка
			Сталь 2Х13		В центрах	Т15К6	45º	Черновая	16К20Т1

 

Рисунок 3 – Эскиз токарной обработки детали

 

Глубина резания t, мм, определим по формуле

 

 

Для определения наивыгоднеших (оптимальных) режимов резания введем ряд следующих ограничений:

1. Режущие возможности инструмента.

2. Мощность электродвигателя привода главного движения.

3. Заданная производительность станка.

4. Наименьшая возможная скорость резания.

5. Наибольшая частота вращения шпинделя.

6. Наибольшая подача, допустимая прочностью и жесткостью станка.

7. Наименьшая подача, допускаемая кинематикой станка.

8. Наибольшая подача, допустимая кинематикой станка.

 

Для обработки выбираем резец проходной L = 170 сечением державки 32´20 мм с углом φ = 45⁰, γ = 10⁰, α = 8⁰, r = 1,5 мм по ГОСТ 18878-73 оснащённый твердосплавной пластиной Т15К6.

Уравнение, характеризующее первое ограничение для точения, будет иметь вид:

 

где Т – период стойкости наибольшей производительности, мин,

Cv - постоянный коэффициент, зависящий от условий обработки,

m, х, у - показатели степеней,

Кv – общий поправочный коэффициент,

D – диаметр обработки, мм.

Согласно таблице 17/1/, для Cv=350, m=0,2; х=0,15; у=0,35

Период стойкости соответствующий наибольшей производительности Т, мин, определим по формуле

 

где μ – величина, обратная показателю относительной стойкости m. Для случая, когда в качестве инструментального материала принимается твёрдый сплав, а в качестве обрабатываемого материала выступает сталь по таблице 4.1 из /2/ принимаем m=5;

tсм – время на смену затупленного инструмента, затрачиваемое за период его стойкости, мин. Для проходного твердосплавного резца tсм = 3 мин, тогда

 

 

Общий поправочный коэффициент для скорости резания Кv, определим по формуле

 

 

где K_мv – коэффициент, учитывающей влияние материала заготовки,

K_пv - коэффициент, учитывающий состояние поверхности заготовки,

K_иv - коэффициент, учитывающий материал инструмента.

 

 

где Кг – коэффициент, характеризующий группу стали по обрабатываемости, по таблице 2 из /1/ при обработке стали 2Х13 твердосплавным инструментом Кг=1.

 

По таблице 5 из /1/ исходя из того, что обрабатываемой заготовкой является прокат с коркой Knv=0,9.

По таблице 6 из /1/ при обработке стали 2Х13 инструментом, оснащенным пластиной твёрдого сплава Т15К6 Kuv=1,9.

 

Kv=1,13´0,9´1,9 = 1,93.

 

 

Обозначив через х₁ = ln (n), x₂ = ln (1000 s), получим следующее уравнение.

Уравнение ограничения 1:

Х₁ + 0,35Х₂ ≤ 9,7.

 

Согласно исходным данным для обработки применяется станок 16К20Т1 с наибольшей длиной обработки 900 мм и мощностью привода главного движения Nn=11 кВт; коэффициент полезного действия привода главного движения станка η=0,8.

Уравнение, характеризующее второе ограничение для точения, будет иметь вид:

,

 

Согласно таблице 22 /1/, для Cz=300, х=1, у=0,75, n_z = -0,15.

 

Общий поправочный коэффициент Крz, определим по формуле

 

 

где K_mp – коэффициент, учитывающей влияние материала заготовки,

K_φp - коэффициент, учитывающий влияние значения главного угла в плане,

K_γp - коэффициент, учитывающий влияние значения переднего угла,

K_λp - коэффициент, учитывающий влияние значения угла наклона главного лезвия.

 

По таблице 23 из /1/ Kφp=1,0; Kγp=1,0; Kλp=1.

 

 

 

Уравнение ограничения 2:

 

0,85Х₁ + 0,75Х₂ ≤ 10,81.

 

Уравнение, характеризующее третье ограничение (заданную производительность станка) для точения, будет иметь вид:

 

 

где L – длина рабочего хода инструмента, мм;

 

Lрх=l + y,

 

где l = 100 – длина резания, мм;

у = 3 – величина врезания резца, мм;

 

Lрх=100 + 3=103 мм.

 

Зададимся производительностью станка R=10 шт/час.

Коэффициент загрузки станка принимается в зависимости от типа производства. В нашем случае обработка осуществляется в условиях среднесерийного производства. Для этого типа производства K₃=0,75…0,85;

Сумма всех вспомогательных неперекрываемых времён при работе, состоит из затрат на отдельные приёмы Тв.н., мин

 

Тв.н. = Тус + Тзо + Туп + Тиз,

 

где Тус – время на установку и снятие детали, мин,

Тзо – время на закрепление и открепление детали, мин,