Математические модели на макроуровне

 

Общая характеристика макромоделей

 

Математической моделью технического объекта на макроуровне является система ОДУ с заданными начальными условиями, описывающая процессы в непрерывном времени (или вдоль одной из координат), а также в силу сложности рассматриваемых объектов их структурные свойства.

Независимые переменные: t или одна из координат.

Уравнения: обыкновенные дифференциальные (ОДУ).

Результат: средние выходные значения фазовых переменных.

 

В основе макро-ММ лежат компонентные уравнения отдельных элементов и топологические уравнения, вид которых определяется связями между элементами.

Компонентные уравнения – отражают связи различных фазовых переменных внутри 1-го элемента объекта. Компонентные уравнения используются для описания физических процессов. Например, уравнение теплопроводности с учетом изменения фазовой переменной Т только вдоль одной оси х (ребра, расположенного на трубе) можно записать в виде

 

. (63)

 

Топологические уравнения отражают связи однотипных фазовых переменных между различными элементами объекта. Топологические уравнения служат для отражения структурных свойств объектов. Примерами топологических уравнений могут служить уравнения равновесия и неразрывности для гидравлической и тепловой систем (табл. 1).

 

Таблица 1

№ п/п	Подсистема	Уравнение равновесия	Уравнение неразрывности
	Гидравлическая
	Тепловая

 

Примечание: – расход среды (тепловой поток) в k -м узле контура; – давление (температура) в j -м участке (ветви) контура.

 

При получении ММ сложного технического объекта, объединяющего тепловую, гидравлическую и другие подсистемы, необходимо:

1) выделить в объекте однородную физическую подсистему (механическую, гидравлическую, тепловую);

2) получить эквивалентную схему для выделенной подсистемы;

3) установить связи между подсистемами

4) получить ММ системы в целом.

Таким образом, макро-ММ объекта, содержащего α элементов, γ из которых реактивные (способные накапливать энергию) можно представить в следующем виде

 

– α – компонентных уравнений;

(64)

– α – топологических уравнений;

– γ формул интегрирования,

где V={H,W}, V – вектор фазовых переменных (переменных состояния); H – вектор из γ фазовых переменных, непосредственно характеризующих запасы энергии в системе; W – остальные фазовые переменные (2α-γ); Z – вектор из γ производных переменных состояния по времени, фазовых.

Система из 2α+γ уравнений для 2α+γ неизвестных, т.е. система замкнута.