Общая характеристика микромоделей

Математической моделью технического объекта на микроуровне является система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая процессы в непрерывной среде и времени с заданными краевыми условиями.

Независимые переменные: x, y, z, t.

Зависимые (фазовые) переменные, характеризующие физическое состояние объекта (их изменения во времени – переходные процессы): для механической системы – скорость, сила, для гидравлической системы – давление, расход, для тепловой системы – температура, тепловой поток.

Уравнения: интегральные, интегро-дифференциальные, дифференциальные в частных производных (ДУЧП) (уравнения Ламе для механики упругих сред; уравнения Навье–Стокса для гидравлики; уравнения теплопроводности для термодинамики и т. д.).

Результат: поля фазовых переменных.

В частности, при моделировании процессов, протекающих в различных технических объектах, среди основных можно выделить процессы движения и теплообмена.

Наиболее общими уравнениями, описывающими процессы движения, являются уравнения Навье-Стокса, которые при определении полной производной векторной функции скорости (x,y,z,t) элементарного объема учитывают 1) массовые (объемные) силы (силы тяжести ), 2) поверхностные силы, к которым относятся силы давление P, а также силы трения за счет вязкости и в декартовой системе координат имеют вид [5]:

 

(1)

 

где , , – характеризуют изменение скорости во времени в какой-либо точке жидкости (локальное изменение скорости), скорости изменения координат во времени (проекции вектора скорости на оси координат x,y,z); – характеризуют изменения скорости при переходе от точки к точке; F _x, F _y, F _z– проекции вектора силы на оси координат; – плотность; P – давление; – коэффициент вязкости.

Процессы теплообмена (переноса теплоты) связаны с обменом внутренней энергией между элементами исследуемого объекта. Поэтому они описываются в общем случае уравнением переноса внутренней энергии (т.е. без учета изменения кинетической и потенциальной ее составляющих).

В самом общем виде уравнение энергии для изобарического (при постоянном давлении) процесса переноса теплоты можно записать [5] как

 

,

 

где i=i(Т,p) – энтальпия единицы объема; Т – температура; ; – количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в элементарном объеме в единицу времени (мощность внутренних источников).

Теплообмен может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением:

1) теплопроводность –перенос, определяемый взаимодействием микрочастиц соприкасающихся тел;

2) конвекция –перенос, обусловленный пространственным перемещением вещества. Наблюдается в движущихся средах (жидкости, газы);

3) излучение – перенос энергии в виде электромагнитных волн.

Во многих прикладных задачах процесс переноса тепла осуществляется различными способами (сложный теплообмен). При описании конвективных переносов необходимо учитывать процессы теплопроводности между отдельными частями сплошной среды (тепло- и массоперенос). Радиационный теплообмен (излучение) может осложняться теплопроводностью, конвекцией и т. д. Примером такого сложного теплообмена могут служить процессы при фазовых превращениях, химических реакциях. При рассмотрении процессов теплопередачи в твердых телах большое значение могут приобретать эффекты, связанные с расширением тел при повышении температуры.

Если при переносе теплоты для локального (местного) значения плотности теплового потока учитывать только теплопроводность и конвекцию , а также с учетом получим следующее выражение уравнения энергии

 

, (2)

 

где – коэффициент температуропроводности; – характеризует изменение температуры во времени в какой-либо точке жидкости (локальное изменение температуры); – характеризует изме-нение температуры при переходе от точки к точке (конвективное изменение температуры).

Если , (конвективное изменение не учитывается), то уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности

 

. (3)

 

Уравнения (1–3) имеют множество решений. Для получения единственного решения необходимо задавать краевые условия (сведения об искомых непрерывных функциях на границах рассматриваемых областей – граничные условия, а вслучае нестационарных задач – значения этих же функций в начальный момент времени – начальные условия). Исходное дифференциальное уравнение в частных производных вместе с краевыми условиями носит название дифференциальной краевой задачи (с начальными условиями – задачей Коши) и представляет собой ММ исследуемого объекта.

Граничные условия в краевых задачах могут задаваться различными способами. На границе рассматриваемой области можно задать: а) значение искомой функции; б) значения производных по пространственным координатам от искомой функции; в) уравнение баланса потоков. В этих случаях говорят о граничных условиях первого, второго и третьего рода соответственно.

 

В частности при моделировании процессов теплообмена распределение температуры в точках среды в различные моменты времени определяется из уравнения в частных производных (уравнения теплопроводности). Для однозначного определения температурного поля T(x, у, z, t) помимо уравнения теплопроводности необходимо сформулировать дополнительные (замыкающие) соотношения, так как решения уравнений в частных производных определяются с точностью до некоторых произвольных функций. Чтобы конкретизировать решение формулируются некоторые дополнительные соотношения (в некоторых точках известно само решение, или производные от решения в некоторых направлениях и т. д.)

Например, пусть расчет температурного поля для уравнения теплопроводности осуществляется в некоторой выбранной области пространства. Для упрощения рассмотрим случай с постоянной расчетной областью , в которой и определяется решение уравнения теплопроводности [12, 13].

Будем считать для определенности, что исследуется процесс теплопередачи, начиная с момента времени t = 0 до некоторого момента времени t = t _max > 0. Поэтому решение уравнения теплопроводности (3) определяется в цилиндре Q={(x,y,z,t)|(x,y,z) Ω, 0<t<t_max}, т.е.

 

, (x,y,z,t) Q.

 

Это уравнение содержит частные производные, как по пространству, так и по времени. Поэтому дополнительные соотношения должны задаваться на множествах точек пространственной области и временного интервала (0, t_mах) на некоторых множествах точек цилиндра Q.

Для уравнения теплопроводности обычно ставятся краевые задачи. В этом случае дополнительные соотношения задаются на границе Q и называются краевыми условиями. Условия на боковой поверхности цилиндра Q соответствуют условиям по пространственным переменным (на границе пространственной области ). Поэтому для таких условий уместно использование термина граничные условия. Условия на нижнем основании Q соответствуют заданию начальных условий.

Имеется возможность задания и более сложных условий. Например, вместо начальных условий при t = 0 могут быть заданы дополнительные условия на другом сечении цилиндра Q, например, при некотором t = t*. Другими словами, множество точек, где заданы дополнительные соотношения, может лежать и внутри Q.

Обычно считается, что температурное поле задано на начальный момент времени, т.е.

 

(x,y,z) Ω (4)

 

При рассмотрении высокоинтенсивных температурных процессов, например на основе гиперболического уравнения теплопроводности, необходимо задавать два условия по времени:

 

, (x,y,z,t) Q

 

где – определяет мощность внутренних источников теплоты.

Например, в начальный момент времени известна температура и скорость ее изменения во времени. Это позволяет задать помимо (4) и условие (5):

 

(x,y,z) Ω t=0. (5)

 

Задание условий типа (4) требует при прикладном моделировании проведения прямых измерений температуры в некоторый фиксированный момент времени. Такие измерения не всегда возможны. Поэтому могут использоваться и другие подходы. Например, для уравнения (3) могут быть приемлемыми условия в конечный момент времени, т.е. вместо условия (4) задано условие (6):

 

,(x,y,z) Ω. (6)

 

В этом случае по условиям (6) необходимо на основе уравнения теплопроводности восстановить температурное поле в предыдущий момент времени t < t _max. Таким образом, мы формулируем ретроспективную задачудля уравнения теплопроводности.

 

Среди граничных условий для уравнения теплопроводности (условия первого, второго и третьего рода) наиболее простая ситуация характеризуется заданием температурного поля на границе (граничные условия первого рода):

 

, (7)

 

где Г – боковая поверхность : Г={(x,y,z,t)|(x,y,z) Ω, 0<t<t_max}.Условия первого рода (7) называются также условиями Дирихле.

Граничные условия второго рода (условия Неймана) соответствуют заданию на границе теплового потока. Для уравнения теплопроводности (3) в изотропной среде (независимость свойств физических объектов от направления) оно записывается в виде

, , (8)

 

где через д/дп обозначена внешняя по отношению к области нормаль к границе .

Более сложная ситуация возникает с постановкой граничных условий второго рода для уравнения теплопроводности в анизотропных средах [13].

Граничное условие третьего рода моделирует конвективный теплообмен между поверхностью твердого тела с окружающей средой, которая имеет температуру Т _с. Обычно считается, что тепловой поток пропорционален разности температур между поверхностью и окружающей средой и поэтому для изотропной среды имеем

 

, (9)

 

где – коэффициент теплоотдачи.

Граничные условия третьего рода могут рассматриваться как наиболее общие из приведенных выше. Эти условия можно записать в форме

 

, . (10)

 

Тогда при à0 из (10) мы получим условие второго рода (8) и, напротив, при à следуют условия первого рода (7).

 

Таким образом, в общем виде ММ на микроуровне можно представить в следующем виде

 

– дифференциальное уравнение

(11)

– краевые условия,

 

где – коэффициенты; – дифференциальные операторы; – заданная функция; – зависимая (фазовая) переменная; – вектор пространственных координат.