Методика изучения темы «Равенство фигур».

Отношение равенства явл-ся одним из основных отношений в математике, мы говорим о равенстве множеств, равенстве чисел, равенстве фигур. К изучению понятия равенства фигур разные авторы уч-ков подходят по разному. В уч. Погорелова изучение равенства фигур начинается с рассм-ния равенства конкретных фигур, отрезков, углов и треугольников. Равенство отрезков и углов опред-ся ч/з равенство соответствующих величин, для отрезка это равенство длин, а для углов равенство градусных мер. Т.о. мы переходим от равенства фигур к числовым равенствам с к-рыми учащ-ся уже привыкли иметь дело. Однако геометр. смысл от этого частично теряется, потому что далеко не всегда при док-ве теорем и реш-ия задач мы имеем числовые характ-ки. Равенство треугол-ков опред-ся как поэлементное равенство, при этом важно обратить внимание учащ-ся на то, что мы рассматр-ем именно соответствующие элементы, особенно при выполнении записей, т.е. тр-к A₁B₁C₁=ABC, то это значит, что угол А м/т быть = только углу А ₁ или менять ориентацию треугольников. В аксиомат-ке Погорелова сформулирована спец-ая аксиома:$ -ия треуг-ка раного данному в заданном расположении относительно данной полупрямой. После чего с уч-ся изуч-ся признаки рав-ва треуг-ов и в дальнейшем, до конца 8 кл.Погорелов не рассматривает рав-во фигур.В 8кл. в теме движения даётся общее определение понятия рав-ва любых фигур.Две фигуры наз-ся равными, если они движением переводятся одна в другую. Т.о.общее определение понятия рав-ва фигур даётся на основе преобразования фигур, а именно движением. Сформул-ем общее определ-ие рав-ва фигур. Погорелов доказ-ет,что введённое раннее определ-ие рав-ва треуг-ов на основе по элемен-го рав-ва эквивал-на определ-ию рав-ва на основе понятия движения.В учеб-ке Атанасян изучение понятия рав-ва фигур начин-ся с введения общ-го определ-ия. Две геометр-ие фигуры наз-ся равными, если их можно совместить наложением (следует отметить, что понятие наложения явл-ся осн-ым понятием, неопределяемым в аксиомат-ке Атанасяна).Исходя из того подхода рав-во конкретных фигур(отрез-ов,углов) рассматр-ся как частный случай общего понятия рав-ва и уже следствием определ-ия(напр-р,рав-во отр-ов) явл-ся то,что равные отрезки имеют=длины.Точно также рассматр-ся признаки рав-ва треуг-ов.Только в уч-ке Погорелова док-во признаков рав-ва треуг-ов исходит из элемен-го рав-ва треуг-ов,а в уч-ке Атанасян из наложения.В последней теме планиметрии в уч-ке Атанасян –движение.При изучении самого понятия движения рассматр-ся вопрос о взаимосвязи понятия наложения и движения.Показ-ся, что наложение явл-ся отображением пл-ти на себя.А также док-ся два взаимообратных утвержденя:1)" наложение явл-ся движением;2)" движение явл-ся наложением. И рассматр-ся следствие,чтопри движ-ии любая фигура отбраж-ся на равную ей фигуру.В приложении к уч-ку Атанасян в аксиомат-ке сформулированы спец-ые группы аксиом рав-ва фигур.

 

 

17. Методика изучения темы «Ок­ружность и круг».

Окруж-сть и круг являются одними из основных геометрических фигур. При этом в большинстве учебников понятие окруж-ти определ-ся одинаково, как фигура состоящая из т-к равноудален­ных от данной т-ки называемой цен­тром. А вот круг опред-ся по разному, как часть плоск-ти ограниченной ок­руж-тью или множ-во т-к расстояние от к-рых до данной т-ки не превосходит заданной величины. Еще в 5-6 классах учащ-ся знакомятся с основными эле­ментами окруж-ти и круга (радиус, диаметр, хорда). С учащ-ся рассматри­вают (правда в неявном виде) и раз­личные способы задания окруж-ти, напр-р, 3-мя точками не лежащие на одной прямой (окруж-сть описанная около треугол-ка) или 3-мя различными попарно пересекающимися прямыми (окруж-сть вписанная в треуг-к). В 4х-угольник не всегда можно м/о вписать и описать, в многоуголь-к всегда, но при условии, что он правильный. Од­ним из важнейших понятий связанных с окруж-тью явл-ся понятие касатель­ной. В большинстве учебников каса­тельная опред-ся как прямая, имеющая с окруж-тью единственную общую точку. В этом случае доказывается, что касательная перпендикулярна к радиусу проведенному в т-ку касания. Погорелов дает другое определ-ие касательной. Касательной наз-ся прямая, проходящая ч/з т-ку окруж-ти перпенд-на к радиусу проведенному в эту т-ку. В этом случае, в кач-ве св-ва касательной доказыв-ся единственность т-ки у касательной и окруж-ти. Следует заметить, что к сожалению в совр. школ-ых учебниках в теоретическом материале изучается очень мало св-в связанных с окруж-тью и касател-ой с том числе. В уч-ке Погорелова нет даже св-ва равенства отрезков касат-ных проведенных в окруж-ти из одной т-ки. Такое теоретического матер-ла в значительной степени обедняет возможность рассмотрения с учащ-мися различных задач связанных с окруж-тью. Рассм-ся также вопрос о центр-х и вписан-х углах. При этом сущ-ют различия в формулир-ки теорем об измерении вписан-го угла. В уч.Погрелова вписан. угол измер-ся половиной соотв-го центр-го угла. А в уч. Атанасяна половиной дуги на кот. он опир-ся.

Не менее важным вопросом изучения окруж-ти явл-ся рассмотрение вопроса длины окруж-ти и площади круга. На интуитивно-наглядном уровне с понятием окруж-ти учащ-ся встречались в 5-6 классах. Само определение длины окруж-ти (площади круга) явл-ся достаточно сложным, поскольку в основе имеет определение предела. В шк. уч-ках явного определения не дается, т.к. понятие предела изучается значительно позже, но на интуитивно-наглядном уровне оно рассм-ся. Основное внимание уделяется с форм-ми длины окруж-ти и площади круга.