Виды регрессионных моделей с одной входной переменной

Если в результате расчета коэффициента корреляции rxy линейная модель признана недостаточно точной, переходят к исследованию более сложных моделей: степенной (y = b 0 xb 1), экспоненциальной (y = exp(b 0+

b 1 1 2

b 1 x)), обратной (y = b 0 +

x или y = b 0 + b 1 x), полинома (y = b 0 + b 1 x + b 2 x).

Полином и обратные модели являются линейными по параметрам, поэтому для оценки их коэффициентов регрессии, корреляции и критерия адекватности можно использовать формулы (5.10), (5.13), (5.15), (5.16). Степенная и экспоненциальная модели требуют дополнительных преобра- зований в виде логарифмирования.

Вопросы для самоконтроля

 

1. Что такое линия регрессии?

2. Что такое уравнение регрессии?

3. Какие модели называются регрессионными?

4. На основе какого метода определяются коэффициенты регрессии?

5. Как определяются коэффициенты регрессии однофакторной модели?

6. Каким критерием оценивается адекватность модели с одним вход- ным фактором?

7. Что делать, если модель оказывается неадекватной?

8. Как оценивается точность однофакторной модели?

9. Где точность предсказаний значений выходного фактора выше?

10. Какими, кроме линейной, могут быть модели с одной входной переменной?

 

Глава 6. Регрессионные модели

С несколькими входными переменными

 

Многофакторная (множественная) линейная регрессия

 

Рассмотрим основы построения регрессионных моделей для объекта с несколькими входными переменными (рисунок).

 

 

Объект исследования с несколькими входными факторами

 

Для построения модели необходимо иметь данные эксперименталь- ных исследований объекта, представленные в виде таблицы, где каждой комбинации значений входных факторов соответствует значение выходно- го фактора.

 

 

Данные экспериментальных исследований объекта

 

Номер экспери- мента	Х 1	Х 2	…	Xk	Y
	x 11	x 21	…	xk 1	y 1
	x 12	x 22	…	xk 2	y 2
	x 13	x 23	…	xk 3	y 3
…
m	x 1 m	x 2 m	…	xkm	ym

Моделирование объекта со сложным внешним воздействием в виде нескольких входных факторов, так же как и для объекта с одним входным фактором, начинается с линейной модели.

Если иметь неограниченно большое количество экспериментальных точек, то линейная регрессионная модель с несколькими входными пере- менными имеет вид

 

¯ y = β0 + β1 x 1 + β2 x 2 + β3 x 3 + … + β kxk, (6.1)

 

где x 1, x 2, x 3 и т. д. – значения входной переменной; β0, β1, β2, …, β k – коэффициенты регрессии.

Имеющиеся экспериментальные данные в виде комбинаций (х 1 i, x 2 i, x 3 i, … xki, yi) являются лишь ограниченной выборкой из общего числа со- стояний исследуемого объекта. Поэтому можно определить только оценки коэффициентов β0, β1, β2, …, которые обозначают, соответственно, b 0, b 1, b 2, b 3, …, bk.

 

¯ y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + … + bkxk. (6.2)

 

Такие модели в литературе часто называют многофакторными моде- лями. Однако определить коэффициенты регрессии bi так, как это делается для однофакторной модели – по методу наименьших квадратов, в данном случае не представляется возможным. Необходимо использовать основы алгебры матриц и матричного исчисления.