Поведение ГВ при правильном вираже (циркуляции) объекта

Для решения рассматриваемой задачи используем уравнения движения (1.8), но предварительно их упростим. С учетом малости угловых скоростей и по сравнению с постоянными угловыми скоростями коррекции и , будем пренебрегать влиянием скоростей , . Угол скольжения (дрейфа) объекта считаем равным нулю, то есть полагаем, что вектор скорости совмещен с продольной плоскостью объекта (). С учетом неравенства считаем .

Для этих условий , (при левом вираже, то есть при вектор осестремительного ускорения совпадает с отрицательным направлением оси , то есть направлен к левому борту объекта).

С учетом сделанных упрощений уравнения движения прибора в условиях правильного виража можно представить:

(1.17)

где – угол отклонения маятника от вертикали при вираже объекта (если условие малости угла не выполняется, следует пользоваться формулой ).

Члены правой части системы уравнений (1.17) – нелинейные функции переменных , и параметров движения объекта. Это делает уравнение (1.17) нелинейными и не позволяет составить их решение в общем виде. Однако нелинейность сигнум-функций проявляется лишь при нулевом значении аргументов, то при и . При других значениях аргументов эти функции обращаются в положительную или отрицательную единицу, то есть нелинейных свойств не проявляют.

С учетом этой особенности составим решение уравнений (1.17) как линейных для значений переменных, удовлетворяющих условиям

, (1.18)

и дополним эти решения качественным анализом выполнения условий (1.18) и установления знаков аргументов и сигнум-функций на различных участках движения гироскопа. Для участков движений, где одно или оба условия (1.18) не выполнены, определим движение гироскопа также на основе качественного анализа уравнений (1.17).

Воспользуемся комплексной переменной . С этой целью умножим первое уравнение на и сложим со вторым:

(1.19)

Решение уравнения (1.19) для участков движения, на которых аргументы сигнум-функций знакоопределены, выглядит так:

После замены, согласно формуле Эйлера, показательной функции тригонометрическими получим

(1.20)

В исходных переменных и решение (1.20) примет вид

(1.21)

Для определения постоянных интегрирования зададим начальные условия. Предположим, что перед началом виража объекта главная ось гироскопа совпадает с вертикалью места, то есть при

. (1.22)

Однако при выбранных начальных условиях не выполняется первое из условий (1.18). Следовательно, воспользоваться выражениями (1.21) для определения постоянных интегрирования нельзя. Проведем качественный анализ характера движения гироскопа при начальных условиях (1.22).

Из уравнений (1.17) следует, что в начальный момент после появления виража с учетом возникает движение гироскопа по координате со скоростью

. (1.23)

Действительно, из второго уравнения (1.17) видно, что в начальный момент

.

С учетом того, что член в начальный момент равен нулю, поскольку , получаем выражение (1.23), то есть накопление отрицательного угла с постоянной скоростью .

Каким будет движение по координате ? Из первого уравнения системы (1.17) следует, что в начальный момент, то есть при и , система коррекции не включена, . Следовательно, движение по координате отсутствует.

Действительно, в начальный момент времени, то есть при , движение гироскопа по углу определяется выражением

. (1.24)

Если в силу тех или иных причин появляется сколько угодно малый угол , отличный от нуля, например положительный (), тотчас включается система коррекции , устраняющая положительный угол . При отрицательном малом угле появится, согласно (1.24), положительная скорость , также устраняющая угол .

Выясним, как изменится характер движения гироскопа по координате с учетом члена по мере накопления угла .

Перепишем для этого первое уравнение системы (1.17) в виде

. (1.24а)

При увеличении со временем отрицательного угла () член в выражении (1.24а) создает отрицательную скорость . Но при появлении угла , удовлетворяющего условию , включается система коррекции, появляется положительная скорость коррекции , устраняющая накопившийся отрицательный угол . Следовательно, при достаточно малых значениях угла , то есть при условии , отклонение гироскопа по координате практически нулевое.

Характер движения изменится, когда нарастание отрицательного угла приведет к нарушению условия . При достаточно большом (по модулю) значении угла , то есть при , система коррекции уже не в состоянии удерживать гироскоп в положении . В этом случае знак правой части равенства (1.24а) определяется знаком члена . Следовательно, при отрицательном значении , удовлетворяющем условию , появятся отрицательная скорость и отрицательный угол . Это произойдет при , где , то есть при , где удовлетворяет условию , а значит,

,

поскольку накопление угла происходило с нулевого значения с постоянной скоростью .

Таким образом, при первое условие (1.18) выполняется. Если при этом второе условие (1.18) выполняется по-прежнему, то есть , то аргументы обеих сигнум-функций знакоопределены и дальнейшее движение происходит в соответствии с решениями (1.21).

Поскольку выражения (1.21) отображают движение гироскопа лишь начиная с момента времени , перепишем их в следующем виде

(1.25)

Постоянные интегрирования в (1.25) можно определить из условий при : , .

После подстановки этих значений в (1.25) получим:

(1.26)

Для рассматриваемого участка движения при , как было показано при качественном анализе, угол отрицателен. Поэтому . В предположении с учетом получим . С учетом приведенных значений сигнум-функций из (1.26) найдем: , . Из выражений (1.25) для этого участка движения следует, что:

(1.27)

Исключив из выражений (1.27) время, получим следующее уравнение траектории движения вершины гироскопа на фазовой плоскости:

. (1.28)

Траектория представляет собой окружность с радиусом, равным . Центр окружности в соответствии с (1.28) имеет координаты

.

Для случая траектория показана на рис. 1.8. При окружность дважды пересекает ось , а при не доходит до оси .

При правом вираже объекта, то есть при угол отклонения маятника от истинной вертикали положительный. Вершина гироскопа вначале перемещается вдоль положительного направления оси , а при достижении значения начинает движение по окружности, лежащей в квадранте, ограниченном положительной полуосью и отрицательной полуосью .

Пользуясь рис. 1.8, нетрудно составить формулы максимальных погрешностей:

(1.29)

По виду формул (1.29) не следует делать вывод о достижении погрешностями весьма больших величин при малой угловой скорости виража. Следует помнить, что показанная на рис. 1.8 траектория движения гироскопа получена для случая, когда . При малой угловой скорости угол отклонения маятника от вертикали также мал и формулы (1.29) несправедливы.

Если при движении по окружности (рис. 1.8) ось гироскопа достигает по координате отклонения, равного углу отклонения маятника, то есть наступает равенство , нарушается второе условие (1.17). При этом для определения характера дальнейшего движения гироскопа нельзя пользоваться выражениями (1.27). Приходится снова определять характер движения на основе качественного анализа уравнений (1.17).

С этой целью перепишем (1.17):

(1.30)

По первому из уравнений (1.30) легко определить скорость изменения угла при . Поскольку на рассматриваемом участке движения , и :

.

В этом выражении первый член правой части по модулю больше второго, поэтому знак – отрицательный. Следовательно, отрицательный угол продолжает нарастать по модулю. Рассмотрим, как будет изменяться угол после достижения значения . Для этого проанализируем второе уравнение системы (1.30). При выключится система коррекции, то есть обратится в нуль. Первый член правой части рассматриваемого уравнения с учетом отрицательного значения угла () даст положительную скорость изменения : , то есть отрицательный угол будет по модулю уменьшаться. Но как только угол станет меньше , снова включится система коррекции, которая создаст отрицательную скорость , превышающую положительную . Следовательно, система коррекции сохранит угол равным . Однако отрицательный угол по модулю будет увеличиваться с постоянной скоростью и в некоторый момент времени (обозначим его ) первый член правой части второго уравнения системы (1.30) – достигнет по модулю значения и продолжит увеличиваться. Начиная с момента система коррекции уже не сможет удерживать угол равным , поскольку член по модулю превысит . Следовательно, при : , .

При отрицательном значении () будет справедливо неравенство и снова обеспечится знакоопределенность аргументов обеих сигнум-функций: , , то есть при справедливы равенства , .

Воспользуемся поэтому для снова решениями (1.21). Перепишем эти решения в виде

(1.31)

Постоянные интегрирования и определим исходя из следующих граничных условий: при , .

После подстановки этих условий в (1.31):

(1.32)

С учетом (1.32) выражение (1.31) перепишем в следующем виде:

Уравнение траектории для рассматриваемого участка движения таково:

(1.33)

Таким образом, при начиная с точки , вершина гироскопа движется по окружности радиусом , центр которой в соответствии с (1.33) имеет координаты и .

В целом траектория движения в рассматриваемом случае, то есть при , состоит из следующих участков (рис. 1.9): отрезок прямой, совпадающий с отрицательным направлением оси ; дуга окружности радиуса ; отрезок прямой, параллельный оси , соответствующий ординате ; окружность радиуса . В этом случае, как видно из рис. 1.9, максимальные погрешности прибора определяются выражениями , .

Возможен, наконец, третий случай, когда угол отклонения маятника от вертикали весьма мал и ось гироскопа достигает угла отклонения маятника, находясь на первом прямолинейном участке траектории, то есть случай, когда .

В такой ситуации после достижения гироскопом отклонения дальнейшее его движение прекращается. Системы коррекции удерживают гироскоп в положении , (рис. 1.10).

Пример. , , .

Для этих параметров . Точнее, , .

Следовательно, ,

.

Из полученных формул максимальных значений виражных погрешностей рассматриваемой ГВ видно, что эти погрешности малы как при больших, так и при малых угловых скоростях виража. В первом случае погрешность мала потому, что при больших отклонениях маятника она обратно пропорциональна . При малых виражная погрешность ограничивается углом отклонения маятника, пропорциональным . Таким образом, наибольших значений погрешности достигают при средних значениях ускорений, то есть средних значениях угловой скорости виража (малое осестремительное ускорение при большой угловой скорости практически невозможно, поскольку большая угловая скорость может быть достигнута при хорошей управляемости объекта, то есть при большей линейной скорости ). Поэтому можно для заданной скорости рассчитать критическую угловую скорость , при которой виражная погрешность максимальна. Из сопоставления рис. 1.7 и 1.8 нетрудно сделать вывод, что критической угловой скорости соответствует случай, когда окружность траектории радиуса касается в своей верхней точке линии , то есть при выполнении условия (рис. 1.11)

.

Отсюда:

.

Максимальные значения погрешности при критической угловой скорости виража можно вычислить по формулам

Для параметров приведенного примера:

Для уменьшения виражных погрешностей целесообразно снижать скорость коррекции гироскопа. В практике для уменьшения виражных погрешностей авиационных ГВ используют радикальный способ – выключение поперечной коррекции на время виража самолета.

Поведение ГВ в условиях виража при выключенной поперечной коррекции рассмотрим в 1.7.