Ранг и базис системы векторов

Определение 1. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов (Система векторов называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае) системы.

.

Определение 2. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации (Линейной комбинацией системы векторов называется выражение вида

, где с ₁, с ₂, …, с _k - некоторые числа) векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

Доказательство.Пусть система имеет базис .

1 случай. Вектор - из базиса. Следовательно, он равен одному из векторов базиса, допустим . Тогда = .

2 случай. Вектор - не из базиса. Тогда r > k.

Рассмотрим систему векторов . Данная система является линейно зависимой, так как - базис, т.е. максимальная линейно независимая подсистема. Следовательно, найдутся числа с ₁, с ₂, …, с _k, с, не все равные нулю, такие, что = . Очевидно, что (если с= 0, то базис системы является линейно зависимым). .

Докажем, что разложение вектора по базису единственно. Предположим противное: имеется два разложения вектора по базису.

= , = .

Вычитая эти равенства, получим .

Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим .

Следовательно, разложение вектора по базису единственно.

Количество векторов в любом базисе системы одинаково и равно рангу системы векторов.

 

Вычисление ранга системы векторов можно свести к вычислению ранга матрицы. Т.к. ранг системы векторов равен рангу матрицы, столбцами (строками) которой являются векторы этой системы.

Пример. Найти ранг системы векторов

Составим матрицу из координат векторов и найдем ее ранг.

 

~ ~ ~

~ , r(А) =3, =1¹0.

Ранг данной системы векторов равен трем, т.е. она имеет три линейно независимых вектора.

 

Системы линейных уравнений

Определение: Системой линейных уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

(1)

Систему (1) можно записать также в виде

или в виде

Но наиболее удобной формой записи системы (15.1) является матричная запись. Введем следующие матрицы: матрица системы , столбец неизвестных и столбец свободных членов ,

с помощью введенных обозначений систему (1) можно записать в виде

Ax=b

Однородная, неоднородная СЛАУ.
Система уравнений называется однородной, если и неоднородной в противном случае.