Остаточным членом в форме Пеано

Джузеппе Пеано (1858-1932) – итальянский математик

1. Возьмём произвольную функцию , определённую на и не являющуюся целым многочленом.

2. Пусть функция имеет производные до n ^го порядка включительно в некоторой точке .

3. Тогда многочлен

называется многочленом Тейлора для функции в точке .

4. Хотя многочлен и имеют одни и те же по значению производные в точке , функция не является целым многочленом n ^ойстепени. Поэтому нельзя утверждать, что .

5. В данном случае многочлен лишь приближённо описывает функцию в окрестности точке .

6. Разность , очевидно, будет погрешностью, допускаемой при замене на .

7. Изучим поведение разности в окрестности точки .

8. Прежде всего, функция n раз дифференцируема в окрестности точки .

9. При этом и в точке .

10. Действительно, , следовательно,

11. Рассмотрим отношение , x ® x₀. Оно представляет собой неопределенность вида .

12. Для раскрытия этой неопределённости следует n раз применить первое правило Лопиталя (первую теорему или первое правило Лопиталя) при x®x₀:

13. Отсюда следует, что остаточный член есть бесконечно малая функция более высокого порядка малости по сравнению с в точке .

Обозначают это условно так: при x®x₀.

14. Тогда можно записать или или .

15. Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

16. Остаточный член формулы Тейлора — это разность

.

17. Отсюда дифференциальная форма формулы Тейлора будет иметь вид

,

, — формула Тейлора для функции в дифференциальном виде с остаточным членом в форме Пеано.

Формула Тейлора для функции одной переменной с

Остаточным членом в форме Лагранжа

Считаем, что функция дифференцируема (n +1) раз на интервале и

– фиксированная точка этого интервала . При таких условиях справедлива теорема.

Теорема. Для любого остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в виде или в форме Лагранжа:

где если и если .

Доказательство

1. Зафиксируем и рассмотрим вспомогательную функцию

.

2. Очевидно, что , а .

3. Кроме того , дифференцируема на и

4. Применим теорему Коши к функциям и отрезку [x₀;x]:

Þ .

ч.т.д.

5. Аналогично проводится доказательство для отрезка [x;x₀].

 

Формула Тейлора для функции одной переменной с

Остаточным членом в форме Коши

Считаем, что функция дифференцируема (n +1) раз на интервале ,и – фиксированная точка из этого интервала; тогда справедлива следующая теорема.

Теорема. Для любого остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в виде или в форме Коши:

Доказательство

1. Зафиксируем и рассмотрим вспомогательную функцию

2. Ясно, что

3. Кроме того, дифференцируема на и ее производная имеет вид

4. Применим теорему Коши к функциям и отрезку [ x ₀ ;x ]:

Þ .

5. Так как ,

где .

6. Тогда , поэтому

ч.т.д.

Замечание

1. C учётом последних двух теорем, формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши примет вид:

где , если или , если .

2. При , формулы Тейлора становятся формулами Маклорена соответственно:

или форме Пеано:

Разложение элементарной функции e^x по формулам

Тейлора и Маклорена

Рассмотрим пример приближенного представления элементарной функции e^x с помощью формулы Маклорена.

1. Формула Маклорена для с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид: ,

где при

2. Так как , то

3. А , при

4. Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа примет вид:

5. Формула Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

6. Для функции e^x формула Маклорена с остаточным членом в форме Пеано примет вид: .

Разложение элементарных функций sin x, cos x, (1+x)^α