Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференцирование логарифмических функций
1. Логарифмическая функция у = log ax обратна к показательной функции х = ау и непрерывна при любых х > 0, а > 0, a ≠ 1. 2. Показательная функция х = ау дифференцируема и ее приращение нигде не обращается в нуль. 3. В силу теоремы о дифференцировании обратной функции следует, что и логарифмическая функция у = log ax дифференцируема в точке, т.е. . 4. Так как х = ау, то формула примет вид . (1) 5. Если основание е, то . (2) 6. Из формул (1) и (2) и теоремы о дифференцировании сложной функции следует, что если функция f (x) дифференцируема в точке х и положительна, то в точке х дифференцируем и ее логарифм, причем будут справедливы формулы: а) ; б) . Определение 10 Производная [ ] называется логарифмической производной функции f (x) в точке х. Пример. Если y = ln sin x, то [4]. Логарифмическое дифференцирование Это технический приём, основанный на следующем утверждении: Если ln (f (x)) дифференцируем в точке х 0,то и положительная функция f (x) дифференцируема в точке х 0 ,т.е. f′ (x 0) = f (x 0)∙(ln f (x 0)) ′x. Доказательство 1. Если f (x) положительная функция, то по определению логарифма можно записать: f (x) = e ln f ( x ). 2. Если натуральный логарифм функции f (x) дифференцируем в точке х 0, то в силу теоремы о дифференцировании сложной функции можно показать: (f (x)) ′x = e ln f (x)∙(ln f (x)) ′x. 3. Но e ln f ( x) = f (x), следовательно, (f (x)) ′x = f (x)∙(ln f (x)) ′x или f′ (x 0) = f (x 0)∙(ln f (x 0)) ′x [26]. ч.т.д. Дифференцирование степенно-показательных Выражений Пусть f (x) = U (x) V ( x ), причём U (x) > 0 для любых х D (f (x)). Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке х 0, то и функция f (x) дифференцируема в точке х 0, причём верна формула: f′ (x 0) = . Доказательство 1. Так как f (x) = U (x) V ( x ), то прологарифмируем по основанию е обе части записанного равенства: ln f (x) = ln[ U (x) V ( x )] = V (x)∙ln U (x). 2. Правая часть записанного выражения дифференцируема в точке х 0: а) V (x) – дифференцируема по условию; б) ln U (x) дифференцируем в точке х 0, так как положительная функция U (x) дифференцируема в точке х 0 по условию, а следовательно, дифференцируем и ln U (x) в точке х 0 на основании теоремы о дифференцировании сложной функции в точке. 3. Тогда по правилам дифференцирования произведения функций в точке получим: (ln f (x)) ′x = .
4. Так как существует производная правой части выражения в точке х 0, то существует и производная левой части выражения в точке х 0, т.е. существует производная логарифма функции f (x) в точке х 0, а значит, существует и производная функции f (x) в точке х 0 на основании логарифмического дифференцирования, т.е. (ln f (x 0)) ′x = , следовательно, = , значит, f′ (x 0) = f (x 0) , тогда, f′ (x 0) = . Или без обозначения аргументов: f′ = UV ∙ ] или f′ = UV∙V′∙ ln U + UV -1∙ V ∙ U′. (٭) ч. т.д. Замечание Эту формулу легко запомнить, заметив, что первое слагаемое правой части получается дифференцированием UV как показательной функции с постоянным основанием, т.е. U – const (ах); а второе – как степенной функции с постоянным показателем степени, т.е. V – const (хn). Пример. Если у = хх, то у′х = хx ∙ln x ∙1 + x ∙ xx -1 = хх ∙(ln x + 1) [26]. Производные высших порядков Определение 11 f′ (х) называется первой производной функции f (х) в точке х. Определение 12 Производная от первой производной некоторой функции в точке называется производной второго порядка или второй производной. Определение 13 Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и т.д. Определение 14 Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка и обозначаются: или . Определение 15 Производная n -ого порядка есть производная от производной (n -1)-ого порядка, так как [26]. Модуль Тема №6
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 626; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.188.175.182 (0.009 с.) |