Дифференцирование логарифмических функций

1. Логарифмическая функция у = log _ax обратна к показательной функции

х = а^у и непрерывна при любых х > 0, а > 0, a ≠ 1.

2. Показательная функция х = а^у дифференцируема и ее приращение нигде не обращается в нуль.

3. В силу теоремы о дифференцировании обратной функции следует, что и логарифмическая функция у = log _ax дифференцируема в точке, т.е.

.

4. Так как х = а^у, то формула примет вид . (1)

5. Если основание е, то . (2)

6. Из формул (1) и (2) и теоремы о дифференцировании сложной функции следует, что если функция f (x) дифференцируема в точке х и положительна, то в точке х дифференцируем и ее логарифм, причем будут справедливы формулы:

а) ;

б) .

Определение 10

Производная [ ] называется логарифмической производной функции f (x) в точке х.

Пример. Если y = ln sin x, то [4].

Логарифмическое дифференцирование

Это технический приём, основанный на следующем утверждении:

Если ln (f (x)) дифференцируем в точке х ₀,то и положительная функция f (x) дифференцируема в точке х ₀ ,т.е. f′ (x ₀) = f (x ₀)∙(ln f (x ₀)) ′_x.

Доказательство

1. Если f (x) положительная функция, то по определению логарифма можно

записать: f (x) = e ^{ln f ( x )}.

2. Если натуральный логарифм функции f (x) дифференцируем в точке х ₀, то в силу теоремы о дифференцировании сложной функции можно показать:

(f (x)) ′_x = e ^{ln f (x)}∙(ln f (x)) ′_x.

3. Но e ^{ln f ( x)} = f (x), следовательно, (f (x)) ′_x = f (x)∙(ln f (x)) ′_x или

f′ (x ₀) = f (x ₀)∙(ln f (x ₀)) ′_x [26].

ч.т.д.

Дифференцирование степенно-показательных

Выражений

Пусть f (x) = U (x) ^{V ( x )}, причём U (x) > 0 для любых х D (f (x)). Если функции U (x) и V (x) дифференцируемы в точке х ₀, то и функция f (x) дифференцируема в точке х ₀, причём верна формула:

f′ (x ₀) = .

Доказательство

1. Так как f (x) = U (x) ^{V ( x )}, то прологарифмируем по основанию е обе части записанного равенства: ln f (x) = ln[ U (x) ^{V ( x )}] = V (x)∙ln U (x).

2. Правая часть записанного выражения дифференцируема в точке х ₀:

а) V (x) – дифференцируема по условию;

б) ln U (x) дифференцируем в точке х ₀, так как положительная функция U (x) дифференцируема в точке х ₀ по условию, а следовательно, дифференцируем и ln U (x) в точке х ₀ на основании теоремы о дифференцировании сложной функции в точке.

3. Тогда по правилам дифференцирования произведения функций в точке получим:

(ln f (x)) ′_x = .

4. Так как существует производная правой части выражения в точке х ₀, то существует и производная левой части выражения в точке х _0, т.е. существует производная логарифма функции f (x) в точке х ₀, а значит, существует и производная функции f (x) в точке х ₀ на основании логарифмического дифференцирования, т.е. (ln f (x ₀)) ′_x = , следовательно,

= , значит,

f′ (x ₀) = f (x ₀) , тогда,

f′ (x ₀) = .

Или без обозначения аргументов: f′ = U^V ∙ ] или

f′ = U^V∙V′∙ ln U + U^{V -1}∙ V ∙ U′. (٭)

ч. т.д.

Замечание

Эту формулу легко запомнить, заметив, что первое слагаемое правой части получается дифференцированием U^V как показательной функции с постоянным основанием, т.е. U – const (а^х); а второе – как степенной функции с постоянным показателем степени, т.е. V – const (хⁿ).

Пример. Если у = х^х, то у′_х = х^x ∙ln x ∙1 + x ∙ x^{x -1} = х^х ∙(ln x + 1) [26].

Производные высших порядков

Определение 11

f′ (х) называется первой производной функции f (х) в точке х.

Определение 12

Производная от первой производной некоторой функции в точке называется производной второго порядка или второй производной.

Определение 13

Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и т.д.

Определение 14

Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка и обозначаются: или .

Определение 15

Производная n -ого порядка есть производная от производной (n -1)-ого порядка, так как [26].

Модуль

Тема №6