Дифференциал сложной функции

1. Пусть у = f [ φ (t)] есть сложная функция от t, т.е. у = f (x), где х = φ (t).

2. Тогда ее дифференциал в случае существования производных у ′_х и х ′_t запишется в виде: dу = y ′_t∙ dt, где y ′_t = y ′_х∙ х ′_t так как у = f [ φ (t)].

3. Тогда dу = y ′_х∙ х ′_t∙ dt = y ′_х∙ dx = f ′_x∙ dx.

4. Итак, получили, что формула dу = f ′(х)∙ dx верна как в случае, когда х – независимая переменная, так и в случае, когда х – функция от малой переменной t.

5. В первом случае под dx понимается дифференциал независимой переменной (dx = ∆x), а во втором случае – дифференциал функции (dx ≠ ∆x).

Поэтому формула дифференциала dу = f ′(х)∙ dx носит название инвариантной (неизменной) формы дифференциала. А формула dу = f ′(х)∙ ∆x свойством инвариантности не обладает [4].

Пример. у = tg x, dy -? .

Если х = t ², то dy = sec² xdx = sec² х 2 tdt = 2t sec² t^2· dt, так как dx = 2·t· dt [4].

Дифференциалы высших порядков

Определение 17

Дифференциал от дифференциала функции у = f (x) в некоторой точке x ₀ называется дифференциалом второго порядка в этой точке и обозначается:

d (dy) = d ² y = d (f ′(x ₀) dx) = f ′′(x ₀) dx ².

Определение 18

Дифференциал от дифференциала второго порядка называется дифференциалом третьего порядка и обозначается d ³ y.

Определение 19

Дифференциал от дифференциала (n -1) порядка называется дифференциалом n ^ого порядка и обозначается: dⁿy.

Замечание

При этом дифференциал независимой переменной рассматривается всё время как постоянная.

Из определения дифференциалов высшего порядка следует их способ вычисления. Пусть функция у = f (x) имеет в точке х производные любого порядка (х – независимая переменная): dу = y ′∙ dx.

Тогда d ² y = d (dy) = (y ′∙ dx)′ dx = y ″ dx dx = y ″ dx ²;

d ³ y = d (d ² y) = (y ″ dx ²)′ dx = y″′ dx ² dx = y ″′ dx ³;

……………………………………………….;

dⁿy = d (d^{n -1} y) = (y ^{(n -1)}∙ dx^{n -1})′ dx = y ⁽ⁿ⁾∙ dx^{n -1} dx = y ⁽ⁿ⁾∙ dxⁿ.

Из этих выражений следует, что для любого n: dⁿy = y ^{( n )}∙ dxⁿ, следовательно [4].

ч.т.д.

Теорема

Как для производных, так и для дифференциалов высшего порядка справедлива следующая формула: dⁿ (c ∙ U) = c dⁿ U;

dⁿ (U V) = dⁿU dⁿV;

dⁿ (U ∙ V) = dⁿU ∙ V + n ∙ d^{n -1} UdV +

Замечание

Формула dⁿy = y ^{( n )}∙ dxⁿ не обладает свойством инвариантности [4].

Модуль

Тема №7

Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложение к исследованию функций

Лекция №5

1. Теорема Ферма.

2. Геометрическая интерпретация теоремы Ферма.

3. Теорема Ролля.

4. Геометрическая интерпретация теоремы Ролля.

5. Теорема Лагранжа.

6. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

7. Следствия к теореме Лагранжа.

8. Теорема Коши.

Теорема Ферма

Пьер Ферма (1601-1665) – французский математик

 

Теорема. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и принимает в ней наибольшее или наименьшее значение. Тогда если в точке существует производная функции , то она равна нулю, т.е. .

Доказательство

1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , , и для определенности принимает в точке наибольшее значение.

2. Тогда для любой точки выполняется неравенство: .

3. Если , то дробь . (1)

4. Если , то дробь . (2)

5. Тогда если в точке существует производная , то существует предел вида: .

6. Известно, что производная в точке существует тогда и только тогда, когда левая и правая производные равны между собой и равны производной в точке. Значит, должны существовать правая и левая производные функции в точке :

a) ;

б) .

7. Но , только тогда будут равны производные.

ч.т.д.