Метод решения задачи оптимального управления. Задачи оптимального управления и двойственные (сопряженные) к ним.

В общем случае задачи оптимального управления можно разделить на два больших класса:

- задачи оптимального программного управления;

- задачи синтеза оптимального управления.

Если оптимальное управление зависит только от времени , то такая задача называется задачей оптимального программного управления (для разомкнутой системы без обратной связи). Для замкнутых систем (с каналом обратной связи и компенсацией возмущений) оптимальное управление зависит от векторов состояния , задающего воздействия и возмущения , т.е. . Такие задачи называются задачами синтеза оптимального управления.

По ограничениям на состояние ОУ и время управления задачи делятся на следующие:

- задачи с фиксированным временем (только конечное время является известной фиксированной величиной);

- задачи со свободным правым концом. Здесь фиксируется конечный момент времени , а ограничения на конечное положение вектора состояния снимаются;

- задачи без ограничения на переменные состояния всего вектора (ограничения снимаются, и переменные состояния принадлежат всему пространству состояния; конечное время может быть любым);

- адачи с закреплённым правым концом траектории. В этих случаях подмножество желаемых значений представляет собой единственную точку, в которую должен попасть вектор в конечный момент времени . В противном случае, (если - подобласть пространства состояний, а не единственная точка) используется термин «задачи с подвижным правым концом».

Задача оптимального управления развитием экономики. Задача оптимального управления распределением капитальных вложений. Достаточные условия оптимальности для процессов управления с непрерывным и дискретным временем и их обобщение.

Целевой функционал выражается числовым значением, которое максимизирует за счет выбора соответствующего вида функции управления - непроизводственного потребления и получаемого при этом с помощью уравнения движения вида функции состояния - валового продукта.

Таким образом, постановка задачи оптимального управления развитием экономики сводится к установлению периода управления (начального и конечного моментов времени), к определению, что будет являться состоянием (валовый продукт) и управлением (непроизводственное потребление), к заданию начального состояния (объема валового продукта в начальный момент времени периода управления) и пределов изменения управления (минимального и максимального объемов непроизводственного потребления), к аналитическому описанию связи (уравнения движения) состояния (валового продукта) и управления (непроизводственного потребления), и наконец, к выбору показателя оптимальности (целевого функционала).

Задача оптимального управления развитием экономики является математической моделью развития экономики.

Будем рассматривать валовый продукт как единое целое без разделения его на виды продукции. Вместе с тем будем учитывать, какая отрасль (предприятие, цех) выпускает этот продукт. Тогда весь валовый продукт может быть представлен вектором в матричном виде:

,

где - стоимость валового продукта, выпускаемого -ой отраслью, .

Для выпуска -ой отраслью валового продукта ей нужно воспользоваться в качестве производственного потребления частью валового продукта , выпущенного как ей самой (), так и другими отраслями (). Размер такой части определяется с помощью коэффициента прямых затрат (коэффициент прямых материальных производственных затрат):

,

где показывает стоимость части продукции -ой отрасли, непосредственно затрачиваемой в качестве предметов труда не выпуск единицы стоимости продукции -ой отрасли.

Коэффициенты прямых затрат могут быть сведены в матрицу:

.

Тогда балансовое соотношение может записано в следующем матричном виде:

.

Можно считать, что объем конечного продукта определяется заказами. Требуется найти, какой объем валового продукта обеспечит выполнение этих заказов.

Преобразования приведенного балансового соотношения приводят к выражению валового продукта через конечный продукт :

,

,

,

где - единичная матрица.

Получена новая матрица коэффициентов в виде обратной матрицы:

.

Эта матрица называется матрицей коэффициентов полных затрат, или обратной матрицей Леонтьева. Коэффициент полных материальных затрат показывает потребность в валовом выпуске продукции - ой отрасли для производства единицы конечной продукции -ой отрасли.