Тема «Свойства действий с рациональными числами»

Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Иными словами, если а, b и c — любые рациональные числа, то
а + b = b + а, а + (b + с) = (а + b) + с.

Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем:
а + 0 = а, а + (– а) = 0.

Умножение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Если, а, b и c рациональные числа, то:
ab = ba, a(bc) = (ab)c.

Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1. Значит, для любого рационального числа а имеем: а • 1 = а; а • 1/a = 1, если а ≠ 0

Умножение числа на нуль дает в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем:
а • 0 = 0;

Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
если а • b = 0, то либо а = 0, либо b = 0
(может случиться, что и а = 0, и b = 0 ).

Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел а, b и c имеем:
(а + b)с = ас + bс.

Тема «Раскрытие скобок»

1. Выражение а + (b + с) можно записать без скобок:

а + (b + с) = а + b + с.
Эту операцию называют раскрытием скобок.

Если перед скобками стоит знак " + ", то можно опустить скобки
и этот знак " + ", сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.
Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо
записать со знаком " + ".
Пример 1.

– 2,87 + (2,87 – 1,5) = – 2,87 + 2,87 – 1,5 = 0 – 1,5 = – 1,5.

2. Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких
слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых:
– (а + b) = –a – b.

Обратите внимание, что отсутствие знака перед первым слагаемым
в скобках подразумевает знак "+".

– (а + b) = – (+ а + b) = – a – b.

3. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак " – ", надо
заменить этот знак на " + ", поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Например 2:
9,28 – (8,28 – ) = 9,28 + (– 8,28 + ) = 9,28 – 8,28 + = 1 + = 1

Например 3:
а + (–b + с) = а + (–b) + с = а – b + с.

Тема «Коэффициент»

Если выражение является произведением числа и одной или
нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом
(или просто коэффициентом).
Например: 5 • а = 5а; 5 — коэффициент.
Коэффициент обычно пишут перед буквенными множителями.
Коэффициентом такого выражения, как а или аb, считают 1,
так как:
а = 1 • а = 1а; ab = 1 • ab = 1ab.

При умножении –1 на любое число а получается число –а.
–1 • a = –1a = –а.
Поэтому числовым коэффициентом выражения –a считают число –1.

Тема «Подобные слагаемые»

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.
Например: 2а и –5а; 13xy и 22xy

Подобные слагаемые отличаются своими числовыми коэффициентами.
Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить
их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Пример: Приведем подобные слагаемые в выражениях:
5а + 2а – 3а = (5 + 2 – 3) • а = 4а;
18x + x – 12x = (18 + 1 – 12) • x = 7x

Тема «Решение уравнений»