Тема «Наибольший общий делитель.

Тема «Наибольший общий делитель.

Взаимно простые числа»

 

Наибольший общий делитель (НОД) двух и более чисел — это
самое большее натуральное число, на которое эти числа делятся
без остатка.
Например: у чисел 12 и 8 наибольший общий делитель (НОД) равен 4,
а у чисел 20 и 35 (НОД) равен 5

Если у нескольких чисел нет общих делителей кроме единицы, то эти числа называются взаимно простыми.
Например: у чисел 5 и 8, 11 и 18, 16 и 27 (НОД) равен 1.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например: у чисел 12, 36 и 48 НОД = 12.

Тема «Наименьшее общее кратное»

Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют
наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b.

Пример: Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, например 6 и 8, надо:
1) разложить их на простые множители;
6 = 2 • 3;
8 = 2 • 2 • 2;
2 есть в разложении числа 6 и 8 (подчеркиваем ее);
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
2 • 3;
3) домножить их на недостающие множители из разложений
остальных чисел;
2 • 3 • 2 • 2;
4) найти произведение получившихся множителей.
2 • 3 • 2 • 2 = 24; НОК (6 и 8) = 24.

Тема «Основное свойство дроби».

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить
на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Это свойство называют основным свойством дроби.

Тема «Сокращение дробей»

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Если числитель и знаменатель дроби являются взаимно простыми
числами (имеют только один общий делитель (1)), то такая дробь
называется несократимой.

Наибольшее число, на которое можно сократить дробь — это
наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя.

Тема «Сложение и вычитание смешанных чисел»

 

Чтобы сложить смешанные числа, надо:
1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему
знаменателю:
2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно
дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:
1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему
знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь,
уменьшив на единицу, целую часть:
2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей

Тема «Умножение дробей»

При умножении дроби на натуральное число, мы должны ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Для умножения смешанных чисел, надо записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения простых дробей.

Тема «Нахождение дроби от числа»

Тема «Применение распределительного свойства умножения»

Распределительное свойство умножения —
(a + b) • c = a • c + b • c = ac + bc;
(a - b) • c = a • c - b • c = ac – bc.

 

Тема «Взаимно обратные числа»

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Тема «Деление дробей»

Тема «Пропорции»

Тема «Масштаб»

Тема «Модуль числа»

Модулем числа a называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки a.

Координата точки М равна – 4. Расстояние от точки М до начала координат О равно четырем единичным отрезкам.
Число 4 называют модулем числа – 4. Пишут: | – 4 | = 4.
Модуль числа 4 равен 4, так как точка N удалена от начала
отсчета на четыре единичных отрезка. Пишут: | 4 | = 4.

Модуль числа 0 равен 0

Модуль числа не может быть отрицательным.
Для положительного числа и нуля он равен самому числу,
а для отрицательного — противоположному числу.
Противоположные числа имеют равные модули: | – a | = | a |. Например: | 7 | = 7; | –7 | = 7

Тема «Сравнение чисел»

На координатной прямой точка с меньшей координатой расположена левее точки с большей.

Например: K(–5) левее M(–3) ⇒ – 5 < – 3;

O(0) левее A(2) ⇒ 0 < 2;

M(–3) левее B(4) ⇒ – 3 < 4.

Любое отрицательное число меньше ( < ) любого положительного:

–7 < 6; –12 < 22; –3 < 18; –1 < 7.

Из двух отрицательных чисел меньше (<) то,
модуль которого больше ( > ):

–9 < –6; –12 < –9; –3 < –1; –1 < – 0,5.

Нуль меньше ( < ) любого положительного числа,
но больше ( > ) отрицательного:

0 < 5; 0 < 8; 0 > –1,4; 0 > – 9,37.

Тема «Вычитание»

Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому
прибавить число, противоположное вычитаемому:

а – b = a + (– b); а – (– b) = a + b.
Например:

4 – 9 = 4 + (– 9) = – (9 – 4) = – 5;
7 – (– 4) = 7 + 4 = 11;
– 5 – 3 = – 5 + (– 3) = – (5 + 3) = – 8.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из
координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

AB = 4 – 1 = 3.

AC = 4 – (– 2) = 4 + 2 = 6

Тема «Умножение»

Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак " – ".
Например: – 11 • 2 = – (11 • 2) = – 22;
4 • (– 5) = – (4 • 5) = – 20;

Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить
их модули.
Например: – 7 • (– 2) = 7 • 2 = 14;
– 3 • (– 2) = 3 • 2 = 6

Но, обратите внимание: – 3,35 • 0 = 0

Тема «Деление»

При делении чисел с разными знаками, надо:
1) разделить модуль делимого на модуль делителя;
2) поставить перед полученным числом знак " – ".
Например: –16: 8 = – (16: 8) = – 2;

При делении чисел с разными знаками, обычно вначале определяют
и записывают знак частного, а потом уже находят модуль частного.

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное,
надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Например: – 77: (–11) = 77: 11 = 7

При делении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль. Например: 0: (–8) = 0

Делить на нуль нельзя!!!

Тема «Раскрытие скобок»

1. Выражение а + (b + с) можно записать без скобок:

а + (b + с) = а + b + с.
Эту операцию называют раскрытием скобок.

Если перед скобками стоит знак " + ", то можно опустить скобки
и этот знак " + ", сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.
Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо
записать со знаком " + ".
Пример 1.

– 2,87 + (2,87 – 1,5) = – 2,87 + 2,87 – 1,5 = 0 – 1,5 = – 1,5.

2. Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких
слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых:
– (а + b) = –a – b.

Обратите внимание, что отсутствие знака перед первым слагаемым
в скобках подразумевает знак "+".

– (а + b) = – (+ а + b) = – a – b.

3. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак " – ", надо
заменить этот знак на " + ", поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.

Например 2:
9,28 – (8,28 – ) = 9,28 + (– 8,28 + ) = 9,28 – 8,28 + = 1 + = 1

Например 3:
а + (–b + с) = а + (–b) + с = а – b + с.

Тема «Коэффициент»

Если выражение является произведением числа и одной или
нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом
(или просто коэффициентом).
Например: 5 • а = 5а; 5 — коэффициент.
Коэффициент обычно пишут перед буквенными множителями.
Коэффициентом такого выражения, как а или аb, считают 1,
так как:
а = 1 • а = 1а; ab = 1 • ab = 1ab.

При умножении –1 на любое число а получается число –а.
–1 • a = –1a = –а.
Поэтому числовым коэффициентом выражения –a считают число –1.

Тема «Подобные слагаемые»

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.
Например: 2а и –5а; 13xy и 22xy

Подобные слагаемые отличаются своими числовыми коэффициентами.
Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить
их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Пример: Приведем подобные слагаемые в выражениях:
5а + 2а – 3а = (5 + 2 – 3) • а = 4а;
18x + x – 12x = (18 + 1 – 12) • x = 7x

Тема «Решение уравнений»

Тема «Параллельные прямые»

Две различные прямые могут либо пересекаться в одной точке, либо не пересекаться.
Две непересекающиеся прямые на плоскости называют
параллельными. Пишут: AB || MN. Эту запись читают: "Прямая АВ параллельна прямой MN ".
Если AB || MN, то MN || AB.

Тема «Наибольший общий делитель.

Взаимно простые числа»

 

Наибольший общий делитель (НОД) двух и более чисел — это
самое большее натуральное число, на которое эти числа делятся
без остатка.
Например: у чисел 12 и 8 наибольший общий делитель (НОД) равен 4,
а у чисел 20 и 35 (НОД) равен 5

Если у нескольких чисел нет общих делителей кроме единицы, то эти числа называются взаимно простыми.
Например: у чисел 5 и 8, 11 и 18, 16 и 27 (НОД) равен 1.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например: у чисел 12, 36 и 48 НОД = 12.

Тема «Наименьшее общее кратное»

Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют
наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b.

Пример: Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, например 6 и 8, надо:
1) разложить их на простые множители;
6 = 2 • 3;
8 = 2 • 2 • 2;
2 есть в разложении числа 6 и 8 (подчеркиваем ее);
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
2 • 3;
3) домножить их на недостающие множители из разложений
остальных чисел;
2 • 3 • 2 • 2;
4) найти произведение получившихся множителей.
2 • 3 • 2 • 2 = 24; НОК (6 и 8) = 24.