С помощью вращающихся векторов

Синусоидальные э.д.с., напряжения и токи могут быть изображены с помощью вращающихся векторов. Длина вектора равна в некотором масштабе амплитудному значению э.д.с., напряжения или тока, а угол, являющийся аргументом синусоидальных функций, отсчитывается от горизонтальной оси против часовой стрелки. При соблюдении этих условий проекция вращающегося вектора на вертикальную ось равна в выбранном масштабе соответствующей мгновенной величине. Пример изображения мгновенной э.д.с. приведен на рис. 7.1 а. На рисунке 7.1 б показано, как с помощью сложения вращающихся векторов, изображающих э.д.с. и может быть получен вектор, изображающий суммарную э.д.с. .

 

Так как угловая частота вращения при рассмотрении установившихся процессов одинакова для векторов, изображающих э.д.с., напряжения и токи, то необходимо учитывать только взаимное расположение этих векторов друг относительно друга. Поэтому один из изображающих векторов всегда может быть расположен произвольно, а векторы остальных величин будут повернуты относительно него на углы, равные сдвигам фаз.

Совокупность векторов, характеризующих процессы, происходящие в той или иной цепи переменного тока, и построенных с учетом их ориентации друг относительно друга, называют векторной диаграммой.

В качестве длин изображающих векторов могут быть выбраны также и действующие значения синусоидальных э.д.с., токов и напряжений. В этом случае эти длины будут в раз меньше.

Рассмотрим связи между токами и напряжениями для элементов электрической цепи в установившемся синусоидальном режиме.

 

Резистор

Напряжение на резисторе при протекании по нему синусоидального тока определяется из закона Ома:

Таким образом, на участке с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе (находятся в фазе) и, следовательно, на векторной диаграмме вектора тока и напряжения на этом участке электрической цепи сонаправлены. Для действующих значений тока и напряжения можно записать

Катушка индуктивности

Напряжение на катушке с индуктивностью при протекании по ней синусоидального тока имеет вид:

Таким образом, на участке с катушкой индуктивности сдвиг фаз между напряжением и током составляет , вектор напряжения опережает вектор тока на угол (напряжение и ток находятся в квадратуре). На векторной диаграмме вектор напряжения на катушке индуктивности опережает вектор тока на угол . Из последнего равенства может быть получено соотношение между действующими значениями тока и напряжения на катушке индуктивности

Величину , имеющую размерность сопротивления, будем далее обозначать и называть индуктивным сопротивлением. Обратная индуктивному сопротивлению величина - индуктивная проводимость, обозначается и измеряется в симменсах [См].

Конденсатор

Напряжение на конденсаторе емкостью при протекании по нему синусоидального тока определяется из соотношения

Напряжение и ток конденсатора не содержат постоянных составляющих. Слагаемое сокращается со значением интеграла на нижнем пределе интегрирования.

Таким образом, на участке с конденсатором сдвиг фаз между напряжением и током составляет (напряжение и ток находятся в квадратуре). На векторной диаграмме вектор напряжения на конденсаторе отстает от вектора тока на угол . Действующие значения тока и напряжения на конденсаторе удовлетворяют равенству:

Величину , имеющую размерность сопротивления, обозначают и называют емкостным сопротивлением. Обратная величина носит название емкостной проводимости.

Полученные соотношения для тока и напряжения на различных элементах электрической цепи могут быть сведены в таблицу.

Таблица 7.1

Элемент эл. цепи	Связь между действующими значениями напряжения и тока	Векторная диаграмма	Сопротивле-ние переменному току	Проводи-мость переменному току

 

В качестве примера рассмотрим задачу расчета установившегося синусоидального тока в цепи, изображенной на рис. 7.2 а.

Построим на векторной диаграмме вектор тока , направив его произвольно. Вектор напряжения на резисторе сонаправлен с вектором тока. Катушка индуктивности соединена последовательно с резистором, следовательно, по катушке протекает тот же ток. Вектор напряжения на катушке индуктивности опережает вектор тока на угол (таблица 7.1). Второй закон Кирхгофа для мгновенных значений

справедлив и для изображающих векторов. Поэтому вектор, изображающий напряжение , может быть найден как сумма векторов и , действующее значение напряжения может быть определено по теореме Пифагора. С учетом соотношений и получим

откуда может быть определено действующее значение тока

и его мгновенное значение .

Подчеркнем, что при расчете цепей синусоидального тока с помощью векторных диаграмм законы Кирхгофа выполняются для изображающих векторов. Сложение действующих значений в общем случае недопустимо, так как при этом не учитывается сдвиг фаз между векторами.