Практическое занятие № 8. Производная и дифференциал.

Задания АЗ 6.1: [14], часть 1, №№ 1,2, АЗ 6.2: [14], часть 1, №№ 1-3, АЗ 6.3: [14], часть 1, №№ 1-3 АЗ 6.4: [14],часть 1, №№ 1-3.

Методические рекомендации. При нахождении производной функции необходимо применять правила дифференцирования и таблицу производных. Сложную функцию следует дифференцировать, разложив на элементарные, обратную по формуле и т.д. Производная n-го порядка определяется дифференцированием производной n-1 го порядка. Согласно определению дифференциала можно найти дифференциала любого порядка.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение: Полагая и , имеем и . Отсюда получаем .

Пример 2. Найти производную

Решение.Преобразуем функцию .

Тогда .

Пример 4. Найти дифференциал второго порядка функции .

Решение: Имеем , . Тогда .

 

Осн. лит. 14, часть 1, [189-201]

Доп. лит. 29,[272-275].

Контрольные вопросы:

1. Как найти производную функции заданной параметрически?

2. В чем заключается геометрический и механический смысл производной первого порядка?

3. Сформулируйте алгоритм метода логарифмического дифференцирования.

 

Практическое занятие № 9. Исследование поведения функций и их графиков. Приложения дифференциального исчисления к геометрии.

Задания. АЗ - 6.7 [14], часть 1, №№ 1-5, АЗ - 6.8 [14], часть 1, №№ 1.

Методические рекомендации. Для полного исследования поведения функции необходимо определить точки экстремума и точки перегиба графика данной функции с помощью производных. А для определения основных свойств функции нужно применить материал изложенный в Лекции 8. С помощью теории пределов находятся асимптоты и возможные точки разрыва графика функции.

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции . Исследовать функцию на экстремум.

Решение.Найдем производную и стационарные точки, решая уравнения . Определим знак производной в окрестности точки : , при и при . Следовательно, в точке функция имеет минимум . Функция возрастает на интервале ; убывает на интервале .

Пример 2. Найти точки перегиба кривой .

Решение. Находим , . Критическая точка второго рода: .

Определим знак в окрестности .

Следовательно, точка , т.е. (5,2) – точка перегиба.

Пример 3. Найти асимптоты кривой .

Решение.Функция определена в интервалах . Имеем , следовательно - вертикальная асимптота. Горизонтальных асимптот нет, так как предел не является конечной величиной. Находим:

.

.

Итак, наклонные асимптоты: , т.е. .

Осн. лит. 14, часть 1, [202-214]

Доп. лит. 29, [ 277-279].

Контрольные вопросы:

1. Как используется правило Лопиталя для устранения неопределенностей вида , и ?

2. Как определяются интервалы монотонности и выпуклости графика функции?

3. Чему равен угловой коэффициент наклонной асимптоты?

Практическое занятие № 10. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Метод подстановки. Интегрирование по частям.

Задания: А3 – 8.1 [14], часть 1, № 1-8, А3 – 8.2 [14], часть 1, № 1-8, А3 – 8.4 [14], часть 1, № 1-4. А3 – 8.5 [14], часть 1, № 1-3.

Методические рекомендации. При нахождении неопределенных интегралов используются их свойства и таблица интегралов. Для приведения заданного интеграла к табличному применяется методы подведения под знак дифференциала и метод подстановки. При использовании метода интегрирования по частям нужно правильно представить подынтегральное выражение в виде произведения двух сомножителей и .

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Представляя интеграл алгебраической суммы в виде суммы интегралов, вынося постоянные множители за знаки интегралов и применяя формулы 1,2 таблицы основных интегралов, получим

Здесь и далее произвольные постоянные, входящие в каждый из складываемых неопределенных интегралов, объединяются в одну произвольную постоянную.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Полагаем , внесем функцию под знак дифференциала, получим:

.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Полагаем , , тогда .

Тогда .

Полагаем , так как достаточно иметь какую – либо одну первообразную. Итак, .

Применяя формулу интегрирования по частям, получим: .

 

Осн. лит.: 14, часть 2, [15-34]

Доп. лит.: 29,[297-301].

Контрольные вопросы:

1. Как правильно представить подынтегральное выражение в виде произведения двух сомножителей и , если подынтегральная функция имеет ?

2. Как внести множитель под знак дифференциала?

3. Как выделить целую часть у неправильной дроби подынтегральной функции?