Лекция № 7. Введение в анализ. Функция. Предел и непрерывность

Определение. Функцией f с областью определения D и областью значений Е называется некоторое отображение из D в Е, т. е. соответствие, при котором каждому элементу сопоставляется единственный элемент .

Способы задания.

а) Табличный. Функция может быть задана в виде таблицы.

б) Графический. Графиком функции называется множество точек (х,у) плоскости таких, что и . График даёт наглядное представление о характере поведения функции.

в) Аналитический. Аналитическим способом, т. е. с помощью одной формулы можно задавать только элементарные функции. Это самый универсальный способ задания функции, из которого можно получить и таблицу и график.

Элементы поведения функции

Ограниченные величины и функции. Переменная величина называется ограниченной, если существует такое число , что все значения попадают в интервал . Иными словами, для всех значений выполняется неравенство

Для функции ограниченность означает выполнение неравенства при всех из области определения.

Возрастание и убывание функций на интервале. Функция называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух значений аргумента, взятых на этом интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции

Четные и нечетные функции. Пусть задана функция с областью определения . Функция называется четной, если выполняется условие , функция называется нечетной, если

Определение. Число А называется пределом функции при , если для каждого найдётся такое d>0, что для всех выполняется неравенство , т. е.

.

Свойства функций, имеющих предел.

1) Предел постоянной функции равен этой постоянной, т. е. .

2) Если предел функции существует, то он единствен.

Первый замечательный предел

.

Второй замечательный предел

.

Непрерывность функции

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются три условия:

1) существует ;

2) существует ;

3) .

В символической форме это определение записывается так:

.

Теорема (о непрерывности монотонной функции). Пусть функция монотонна (монотонно возрастает или монотонно убывает) на отрезке [а, ] и принимает все значения из отрезка , тогда она непрерывна в каждой точке интервала (а, ), непрерывна в точке а справа и в точке слева.

Из этой теоремы следует, что все основные элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своей области определения, а во всех граничных точках области определения, принадлежащих ей, они непрерывны справа и слева. Это следует из того, что

любую точку из области определения основной элементарной функции можно включить в отрезок, где эта функция монотонна и принимает все значения из отрезка

.

Например, функция непрерывна во всех точках интервала (–1,1), непрерывна в точке справа и в точке слева, так как оно монотонно возрастает в и для

.

Теорема Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции

1) , 2) , 3) при . Также непрерывны в точке .

Теорема (непрерывность сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке и , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

 

Осн. лит.: 2, [86-126], 19, [162-180], 18, [46-189]

Доп. лит.: 30, [151-168].

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте определения предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

2.Первый замечательный предел. Сформулируйте определение числа е (второй замечательный предел).

3.Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции.