Тема . Дифференциальные уравнения

ТЕМА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Занятие №1. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

 

 

Цель занятия: усвоить новые учебные элементы на уровне умения решать типовые дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; воспитание самостоятельных навыков учебной деятельности, трудолюбия.

 

Учебные вопросы

 

1. Решение дифференциальных уравнений с разделенными и разделяющимися переменными.

2. Решение физических и геометрических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.

 

Ход занятия

 

Студенты должны предварительно подготовить теоретический материал лекции к данному практическому занятию по вопросам:

1. Понятие дифференциального уравнения первого порядка.

2. Общее решение дифференциального уравнения.

3. Частное решение, геометрическая иллюстрация.

4. Определение уравнения с разделенными переменными, его запись.

5. Понятие уравнения с разделяющимися переменными и его запись в общем виде.

6. Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

 

Основные рабочие формулы

 

1) Дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

(1)

общее решение:

(2)

2) Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

(3)

Приведение к виду (1) с разделенными переменными:

(4)

где

 

1. Решение дифференциальных уравнений с разделенными и разделяющимися переменными

 

Задача 1. Решить дифференциальное уравнение: удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. 1) Определяем тип дифференциального уравнения – с разделяющимися переменными.

2) Разделяем переменные, умножив обе части уравнения на один и тот же множитель:

Получим уравнение типа (1):

3) Решаем его, интегрируя обе части равенства:

4) Находим общее решение:

5) Находим постоянную интегрирования, подставив в общее решение начальные условия:

6) Находим частное решение, подставив значение постоянной интегрирования в общее решение:

Геометрически это совокупность (множество) точек , лежащих на гиперболе . Интегральная кривая – гипербола, проходящая через точку с координатами .

 

Задача 2. Решить самостоятельно по образцу задачи 1. Решить дифференциальное уравнение: .

а) найти общее решение:

б) построить несколько интегральных кривых;

в) найти частный интеграл по начальным условиям: .

Указание. Переписать уравнение, подставив .

 

Задача 3. Решить уравнение: .

Задание то же, что и в предыдущем примере, начальные условия: .

 

Задача 4. Найти общее решение уравнения: .

 

Задача 5. Найти общее и частное решения уравнения:

при .

 

Задача 6. Решить уравнения:

1) ;

2) .

 

2. Решение физических и геометрических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными

 

Задача 7. Скорость точки равна м/сек. Найти путь , пройденный точкой за промежуток времени сек от начала движения.

Решение. 1) Известно, для , тогда в нашем случае:

.

2) Подставим выражение скорости: .

3) Решаем дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

.

4) Так как в начале движения , то при ; Тогда .

5) Находим путь, пройденный точкой за сек:

(м).

Ответ: м.

 

Задача 9. Решить самостоятельно по образцу задачи 7. Скорость точки равна м/сек. Найти путь, пройденный точкой за время сек от начала движения.

 

Задача 10. Найти кривую, проходящую через т. , для которой отрезок любой ее касательной, заключенной между координатными осями делится пополам в точке касания.

Решение. Пусть есть середина касательной , по условию являющаяся точкой касания (рис. 1). В силу условия:

угловой коэффициент касательной к кривой в т. равен и равен:

.

Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой: .

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные:

Используя начальные условия, найдем: .

Тогда искомая кривая . Эта гипербола:

Рис. 1

Ответ:

 

 

Задание для самостоятельной работы

 

Задача 11. Задание аналогично задаче 2: .

 

Решить уравнения:

Задача 12. .

 

Задача 13. .

Задача 14. ;

Задача 15. ;

Задача 16. ;

Задача 17. ;

Задача 18. ;

Задача 19. ;

Задача 20. .

 

Вопросы для студентов

 

1. Объяснить алгоритм решения дифференциального уравнения, предложенного преподавателем из данного задания.

2. Ответить на теоретические вопросы, указанные в начале данного занятия.

3. Составить самостоятельно дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и решить его.

Основные рабочие формулы

 

Уравнение

(*)

однородное, если оно может быть приведено к виду: . При помощи подстановки , получим и уравнение (*) сведется к уравнению с разделяющимися переменными.

 

Задача 1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение:

.

Решение. 1) Проверка однородности функции: Выразим т.е.

2) Сделаем подстановку или , тогда , подставим в 1):

или .

3) Разделяем переменные и интегрируем:

,

получим

4) Подставим :

.

Ответ:

Задача 2. Решить самостоятельно дифференциальное уравнение по образцу задачи 1: .

 

Задача 3. Найти общее и частное решение уравнения:

 

Решить уравнения:

Задача 4. .

Задача 5. .

Задача 6. .

Задача 7. .

Объяснить алгоритм решения одного из дифференциальных уравнений данного занятия.

Задание для самостоятельной работы

 

Решить уравнения:

Задача 8. .

Задача 9. .

Задача 10. ;

Задача 11. при ;

Задача 12. ;

Задача 13. ;

Задача 14. .

Рабочие формулы

 

1) Вид линейного дифференциального уравнения I порядка:

(1)

Решение ищется в виде:

(2)

где

(3)

Подставляем (2) и (3) в (1):

(4)

Из уравнения (4) получим два уравнения с разделяющимися переменными:

	(5)
	(6)

Решая уравнения (5) и (6), находим решение (2) уравнения (1).

2. Вид дифференциального уравнения Бернулли

(7)

Уравнение (7) разделим на , тогда

(8)

Вводится замена:

(9)

.

Подставляя (9) в (7) получим линейное уравнение первого порядка:

.

 

1. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

 

Задача 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

(*)

Решение. 1) Полагаем, , тогда .

2) Подставляем в (*), получим:

;

.

3) Рассматриваем два уравнения:

а) ;	(А)
б)	(В)

4) Решаем уравнение с разделяющимися переменными:

(принимаем ).

5) Подставляем найденные значения в уравнение (Б):

;

.

6) Получим:

.

Ответ:

 

Решить самостоятельно уравнения по образцу задачи 1:

Задача 2. .

Задача 3. .

Задача 4. .

 

2. Решение дифференциального уравнения Бернулли

 

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли: .

Решение. 1) Делим обе части уравнения на

(*)

2) Сделаем замену , тогда .

3) Подставляем в уравнение (*): .

4) Решаем линейное уравнение .

5) Положим , тогда .

6) Решаем уравнение:

7) Подставляем значение v в уравнение:

8) Находим .

9) Найдем .

Ответ:

 

Задача 6. Решить самостоятельно уравнение Бернулли по образцу задачи 5:

.

 

Задание для самостоятельной работы

 

Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение:

.

 

Задача 8. Решить линейное дифференциальное уравнение:

.

 

Задача 9. Решить уравнение Бернулли:

.

 

Решить уравнения:

Задача 10. ;

Задача 11. ;

Задача 12. ;

Задача 13. ;

Задача 14. ;

Задача 15. .

Рабочие формулы

 

1. Уравнения второго порядка, содержащие только производную второго порядка и функцию независимой переменной.

Уравнение вида:

(1)

Общее решение уравнения (1):

(2)

2. Уравнение, не содержащее явным образом искомой функции у.

Уравнение вида:

(3)

С помощью подстановки или

(4)

и соответственно , понижается порядок уравнения (3):

(5)

где .

Общее решение уравнения (3):

(6)

3. Уравнение второго порядка, не содержащее явным образом независимой переменной х.

Уравнение вида:

(7)

С помощью подстановки

(8)

понижается порядок уравнения (7):

где

 

1. Решение дифференциальных уравнений вида:

(1)

 

Задача 1. Найти общее решение уравнения

(*)

и выделить решение, удовлетворяющее начальным условиям:

при .

Решение. Интегрируя последовательно уравнение (*), получим общее решение уравнения:

1) ;

2)

.

3) Найдем решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям. Подставляя начальные условия: в полученное общее решение, будем иметь:

.

Получим частное решение:

.

 

Задача 2. Решить самостоятельно по образцу задачи 1. Найти общее решение уравнения:

и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

 

Задача 3. Найти общее решение уравнения и частное, удовлетворяющее начальным условиям .

2. Решение дифференциальных уравнений вида:

(3)

т.е. уравнения, не содержащего явным образом искомой функции y.

 

Задача 4. Решить уравнение:

(**)

Решение. 1) Сделаем подстановку , тогда .

Подставляя в (**) и , понижаем порядок уравнения:

Это линейное уравнение:

2) Решаем линейное уравнение, перепишем его, поделив на х:

.

Введем подстановку: ; .

Решаем уравнение:

.

Решаем другое уравнение с разделяющимися переменными, подставив полученное выражение :

;

.

Подставим полученные значения u и v:

.

3) Решаем уравнение:

;

общее решение уравнения (**).

Ответ:

 

Решить самостоятельно уравнения по образцу задачи 4:

Задача 5. .

Задача 6. .

 

3. Решение дифференциальных уравнений вида:

(7)

т.е. уравнений, не содержащих явным образом независимой переменной х.

 

Задача 7. Решить уравнение:

(***)

Решение. 1) Сделаем подстановку , тогда , т.к. .

2) Получим:

.

3) Решаем уравнение с разделяющимися переменными:

.

4) Так как решаем дифференциальное уравнение:

;

общее решение уравнения (***).

Ответ:

 

 

Задача 8. Решить самостоятельно уравнение по образцу задачи 7:

.

 

Задание для самостоятельной работы

 

Решить уравнения:

Задача 9. при

Задача 10.

Задача 11.

Задача 12.

Задача 13. ;

Задача 14. ;

Задача 15. ;

Задача 16. ;

Задача 17. .

 

Основные рабочие формулы

 

I тип уравнения

(1)

Общее решение уравнения (1):

II тип уравнения

(2)

Подстановка:

III тип уравнения

(3)

Подстановка:

 

Рабочие формулы

 

1. Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

(1)

2. Характеристическое уравнение:

(2)

3. Если корни характеристического уравнения действительны и различны , то частные решения:

и

Общее решение записывается в виде:

(3)

4. Корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е. , частные решения:

и .

Общее решение в этом случае:

(4)

5. Корни характеристического уравнения комплексные:

;

;

частные решения:

;

.

Общее решение уравнения (1) имеет вид:

(5)

Задача 1. Найти общее решение уравнения: .

Решение. 1. Составим характеристическое уравнение: .

2. Решаем алгебраическое квадратное уравнение. Получим корни: .

3. Т.к. корни действительные и различные, решение имеем в виде (3):

частные решения

общее решение.

Ответ:

 

Задача 2. Решить самостоятельно по образцу задачи 1. Найти общее решение уравнения: .

Задача 3. Найти общее решение уравнения: .

Решение. 1) Составим характеристическое уравнение , оно имеет двукратный корень .

2) По формуле (4) общее решение имеет вид:

Ответ:

 

Задача 4. Решить самостоятельно по образцу задачи 3. Найти общее решение уравнения: .

 

Задача 5. Найти общее решение уравнения: .

Решение. 1) Составляем характеристическое уравнение , которое имеет корни: .

2) Общее решение по формуле (5) записывается:

,

частные решения:

,

,

где .

Ответ:

 

Задача 6. Решить самостоятельно по образцу задачи 5. Найти общее решение уравнения: .

 

Задание для самостоятельной работы

 

Решить уравнения:

Задача 7.

Задача 8.

Задача 9.

Задача 10.

Задача 11.

Задача 12.

Задача 13.

Задача 14.

Задача 15.

Задача 16.

Задача 17.

Задача 18.

Задача 19.

Задача 20.

Задача 21.

Задача 22.

 

 

Ход занятия

 

Студенты должны ответить на вопросы лекции:

1) Алгоритм решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью специального вида 1.

2) Алгоритм решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью специального вида 2.

 

Рабочие формулы

 

Общее решение неоднородного уравнения

(1)

представляется как сумма частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения

(2)

Общее решение уравнения (1):

(3)

Нахождению общего решения однородного уравнения (2) посвящено занятие 6. Поэтому запишем формулы вычисления частных решения уравнения (1).

1) Для линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с правой частью специального вида:

(4)

частное решение ищется в виде:

(5)

где r – кратность корня характеристического уравнения, если является его корнем (если не является корнем характеристического уравнения, то ), полный многочлен п -ой степени с неопределенными коэффициентами.

2) Для линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью специального вида:

(6)

частное решение ищется в виде:

(7)

где кратность корня характеристического уравнения, если является корнем этого уравнения (если не является корнем характеристического уравнения, то ), и полные многочлены степени е с неопределенными коэффициентами, где

 

Алгоритм решения неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью

 

1. Определить, что данное уравнение имеет вид:

.

2. Составить и решить характеристическое уравнение.

3. Записать общее решение однородного дифференциального уравнения по одной из формул.

4. По виду правой части:

1) , или	(4)
2)	(6)

определить, является ли корнем характеристического уравнения; если да, то какова кратность этого корня .

5. Записать частное решение в виде (5) или (7) соответственно.

6. Найти методом неопределенных коэффициентов.

7. Записать общее решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле:

(3)

 

1. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с правой частью специального вида:

Задача 1. Найти решение уравнения: .

Решение. 1) Общее решение ищем в виде (3).

2) Составляем характеристическое уравнение однородного дифференциального уравнения

,

которое имеет кратные корни .

3) Общее решение однородного уравнения:

.

4) Находим частное решение неоднородного уравнения. Так как в правой части отсутствует , то , а число не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение ищем в виде:

,

а именно в виде многочлена того же порядка, что и многочлен в правой части заданного уравнения.

5) Подставляем составленное частное решение в исходное уравнение, предварительно найдем:

Тогда

Находим коэффициенты А и В, приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при одинаковых степенях х:

6) Подставляем полученные коэффициенты в частное решение :

.

7) Находим общее решение по формуле (3), подставив найденные решения и :

Ответ:

 

Задача 2. Решить самостоятельно уравнение по образцу задачи 1:

.

 

Задача 3. Найти решение уравнения: