Дифференциальные уравнения (20 ч.)

 

35 – 36. Уравнения с разделяющимися переменными.

37 – 38. Однородные уравнения.

39 – 40. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли.

41 – 42. Уравнения в полных дифференциалах.

43 – 44. Разные дифференциальные уравнения первого порядка.

45 – 46. Простейшие типы интегрируемых дифференциальных уравнений второго порядка. Случаи понижения порядка.

47 – 48. Простейшие интегрируемые дифференциальные уравнения высших порядков.

49 – 50. Линейные однородные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами.

51 – 52. Линейные неоднородные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами.

53 – 54. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

 

IV семестр (2 ч в неделю, всего 34 ч.)

 

Случайные события (12 ч)

 

1 – 2. Классическое и статистическое определение вероятности. Геометрические вероятности.

3 – 4. Теорема сложения и умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.

5 – 6. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

7 – 8. Формула Бернулли.

9 –10. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

11 – 12. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях.

 

Случайные величины (22 ч.)

 

13 – 14. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Законы биноминальный и Пуассона.

15 – 16. Простейший поток событий.

17 – 18. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

19 – 20. Теоретические моменты.

21 – 22. Неравенство Чебышева.

23 – 24. Теорема Чебышева.

25 – 26. Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

27 – 28. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

29 – 30. Равномерное распределение.

31 – 32. Нормальное распределение.

33 – 34. Показательное распределение и его числовые характеристики.

 

Примерные экзаменационные вопросы

 

I семестр

 

1. Определители второго и третьего порядков.

2. Минор. Алгебраические дополнения.

3. Свойства определителя.

4. Матрицы и действия над ними.

5. Ранг матрицы и его вычисление.

6. Системы линейных уравнений.

7. Правило Крамера.

8. Число решений системы (исследование с помощью определителей).

9. Матричное уравнение. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

10. Обратная матрица.

11. Метод Гаусса. Число решений системы (по методу Гаусса).

12. Эквивалентные системы. Теорема о базисном миноре (без доказательства).

13. Теорема Кронекера – Капелли (без доказательства). Исследование систем линейных уравнений.

14. Прямоугольная система координат. Понятие вектора.

15. Проекция вектора на ось и на оси координат.

16. Направляющие косинусы вектора.

17. Линейные операции над векторами и их свойства.

18. Теоремы о проекциях векторов. Разложение вектора по базису.

19. Скалярное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты.

20. Ориентация тройки векторов. Векторное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты. Геометрический смысл.

21. Смешанное произведение векторов. Выражение через декартовы координаты. Геометрический смысл.

22. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости (расстояние между двумя точками, площадь треугольника, деление отрезка в данном отношении).

23. Полярные координаты.

24. Преобразование прямоугольных координат.

25. Уравнение линии на плоскости.

26. Линии первого порядка (уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом, уравнение прямой, проходящей через две данные точки).

27. Угол между двумя прямыми, условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

28. Линии первого порядка (общее уравнение прямой, неполное уравнение первой степени, уравнение прямой в «отрезках»).

29. Нормальное уравнение прямой.

30. Расстояние от точки до прямой.

31. Линии второго порядка. Эллипс. Вывод канонического уравнения и исследование формы кривой. Окружность – как частный случай эллипса.

32. Гипербола. Вывод канонического уравнения и исследование формы кривой.

33. Парабола. Вывод канонического уравнения и исследование формы кривой.

34. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

35. Классификация линий второго порядка.

36. Уравнения плоскости (общее уравнение плоскости, исследование общего уравнения плоскости).

37. Уравнения плоскости (уравнение плоскости в «отрезках», уравнение плоскости, проходящей через три точки).

38. Нормальное уравнение плоскости.

39. Расстояние от точки до плоскости.

40. Угол между двумя плоскостями. Взаимное расположение плоскостей.

41. Прямая в пространстве (векторно – параметрическое уравнение прямой, параметрические уравнения прямой).

42. Прямая в пространстве (канонические уравнения прямой, уравнения прямой, проходящей через две данные точки).

43. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых в пространстве.

44. Прямая как пересечение двух плоскостей.

45. Взаимное расположение прямой и плоскости.

46. Угол между прямой и плоскостью.

47. Уравнение цилиндрической поверхности.

48. Эллипсоид.

49. Однополостный гиперболоид.

50. Двуполостный гиперболоид.

51. Эллиптический параболоид.

52. Гиперболический параболоид.

53. Конус второго порядка.

54. Числовые множества. Понятие функции.

55. Предел функции.

56. Бесконечно малые функции и их свойства.

57. Бесконечно большие функции.

58. Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций.

59. Основные теоремы о пределах.

60. Непрерывность функции в точке.

61. Точки разрыва функции.

62. Непрерывность функции на промежутке.

63. Предел последовательности.

64. Число е как предел последовательности.

65. Замечательные пределы.

66. Сравнение бесконечно малых.

67. Эквивалентные бесконечно малые и использование их при вычислении пределов.

 

II семестр

 

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

2. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.

3. Производные некоторых функций.

4. Основные правила дифференцирования.

5. Производная сложной функции.

6. Основные формулы дифференцирования (логарифмической функции, показательной функции, тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций).

7. Дифференцирование неявной функции, параметрической функции.

8. Производные высших порядков.

9. Дифференциал функции.

10. Геометрический смысл дифференциала.

11. Свойства дифференциала.

12. Дифференциалы высших порядков.

13. Теоремы Лагранжа, Ролля, Коши.

14. Правило Лопиталя – Бернулли.

15. Приближенное решение алгебраических уравнений. Отделение корней.

16. Методы хорд, касательных, комбинированный.

17. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции.

18. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

19. Достаточное условие экстремума.

20. Направления выпуклости, точки перегиба.

21. Асимптоты.

22. Комплексные числа.

23. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

24. Операции с комплексными числами.

25. Первообразная и неопределенный интеграл.

26. Свойства интеграла.

27. Таблица основных интегралов. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента.

28. Понятия об основных методах интегрирования (метод непосредственного интегрирования, метод замены переменной).

29. Понятия об основных методах интегрирования (интегрирование по частям).

30. Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе.

31. Интегрирование рациональных функций.

32. Интегрирование тригонометрических выражений.

33. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

34. Задачи, приводящие к интегральным суммам и их пределам.

35. Понятие определенного интеграла.

36. Геометрический смысл определенного интеграла.

37. Основные свойства определенного интеграла.

38. Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем.

39. Существование первообразной для непрерывной функции.

40. Формула Ньютона – Лейбница.

41. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

42. Приближенное вычисление определенного интеграла.

43. Несобственные интегралы.

44. Приложения определенного интеграла (площадь криволинейной фигуры в прямоугольных декартовых координатах, площадь в полярных координатах, длина дуги кривой).

45. Приложения определенного интеграла (объем тела, площадь поверхности вращения, работа переменной силы).

46. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

47. Частные производные функции нескольких переменных.

48. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

49. Дифференциалы высших порядков.

50. Дифференцирование сложных функций.

51. Дифференцирование неявных функций.

52. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала первого порядка.

53. Производная по направлению.

54. Градиент скалярного поля.

55. Экстремум функции нескольких переменных.

56. Условный экстремум.

57. Семейства линий на плоскости. Огибающая однопараметрического семейства линий.

58. Метод наименьших квадратов.

 

 

III семестр

 

1. Задачи, приводящие к двойным интегралам.

2. Двойной интеграл.

3. Свойства двойного интеграла.

4. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.

5. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.

6. Приложения двойного интеграла.

7. Тройной интеграл.

8. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

9. Приложения тройного интеграла.

10. Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла.

11. Криволинейный интеграл первого рода.

12. Криволинейный интеграл второго рода.

13. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

14. Приложения криволинейных интегралов.

15. Формула Грина.

16. Задачи, приводящие к понятиям интегралов по поверхности.

17. Понятия интегралов по поверхности.

18. Вычисление интегралов по поверхности.

19. Приложения интегралов по поверхности.

20. Формула Стокса.

21. Формула Остроградского.

22. Поток, расходимость, циркуляция, вихрь. Векторная формулировка теорем Остроградского и Стокса.

23. Признак полного дифференциала.

24. Сходимость и расходимость числовых рядов.

25. Необходимый признак сходимости ряда.

26. Признаки сходимости рядов с положительными членами.

27. Признак Даламбера. Признак Коши.

28. Интегральный признак сходимости.

29. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

30. Абсолютная сходимость рядов.

31. Действия над рядами.

32. Сходимость функциональных последовательностей и рядов.

33. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.

34. Свойства равномерно сходящихся рядов.

35. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

36. Непрерывность суммы степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

37. Разложение в степенные ряды некоторых функций.

38. Ряды Тейлора и Маклорена.

39. Приложения рядов.

40. Тригонометрический ряд Фурье.

41. Сходимость ряда Фурье для кусочно – дифференцируемой функции.

42. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

43. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке [- l, l ].

44. Основные сведения о дифференциальных уравнениях.

45. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

46. Однородные и приводящиеся к ним дифференциальные уравнения первого порядка.

47. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

48. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

49. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений.

50. Некоторые интегрируемые типы дифференциальных уравнений n -го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка.

51. Линейные однородные уравнения n -го порядка.

52. Линейные однородные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами.

53. Линейные неоднородные уравнения n -го порядка.

54. Линейные неоднородные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами.

55. Метод вариации произвольных постоянных.

56. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

 

IV семестр

 

1. Испытания и события.

2. Виды случайных событий.

3. Классическое определение вероятности.

4. Основные формулы комбинаторики. Примеры непосредственного вычисления вероятностей.

5. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.

6. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность.

7. Геометрическая вероятность.

8. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

9. Полная группа событий.

10. Противоположные события.

11. Принцип практической невозможности маловероятных событий.

12. Произведение событий.

13. Условная вероятность.

14. Теорема умножения вероятностей.

15. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

16. Вероятность появления хотя бы одного события.

17. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

18. Формула полной вероятности.

19. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.

20. Формула Бернулли.

21. Локальная теорема Лапласа.

22. Интегральная теорема Лапласа.

23. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

24. Случайная величина.

25. Дискретные и непрерывные случайные величины.

26. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

27. Биноминальное распределение.

28. Распределение Пуассона.

29. Простейший поток событий.

30. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

31. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

32. Вероятностный смысл математического ожидания.

33. Свойства математического ожидания.

34. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.

35. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания.

36. Дисперсия дискретной случайной величины.

37. Формула для вычисления дисперсии.

38. Свойства дисперсии.

39. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях.

40. Среднее квадратическое отклонение.

41. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин.

42. Одинаково распределенные независимые случайные величины.

43. Начальные и центральные теоретические моменты.

44. Неравенство Чебышева.

45. Теорема Чебышева.

46. Сущность теоремы Чебышева.

47. Значение теоремы Чебышева для практики.

48. Теорема Бернулли.

49. Определение функции распределения.

50. Свойства функции распределения.

51. График функции распределения.

52. Определение плотности распределения.

53. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

54. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.

55. Свойства плотности распределения.

56. Вероятностный смысл плотности распределения.

57. Закон равномерного распределения вероятностей.

58. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

59. Нормальное распределение.

60. Нормальная кривая.

61. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.

62. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

63. Вычисление вероятности заданного отклонения.

64. Правило трех сигм.

65. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы.

66. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального.

67. Функция одного случайного аргумента и ее распределение.

68. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента.

69. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения.

70. Распределение «хи квадрат».

71. Распределение Стьюдента.

72. Распределение F Фишера – Снедекора.