Занятие №2. Решение однородных уравнений первого порядка

 

 

Цель занятия: знать и уметь решать типовые дифференциальные однородные уравнения первого порядка; воспитание навыков самостоятельной деятельности, организованности.

 

Учебные вопросы

 

1. Решение однородных уравнений первого порядка.

 

Ход занятия

 

Студенты должны знать ответ на следующие теоретические вопросы:

1. Определение однородного дифференциального уравнения первого порядка

2. Алгоритм решения дифференциального однородного уравнения первого порядка.

 

Основные рабочие формулы

 

Уравнение

(*)

однородное, если оно может быть приведено к виду: . При помощи подстановки , получим и уравнение (*) сведется к уравнению с разделяющимися переменными.

 

Задача 1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение:

.

Решение. 1) Проверка однородности функции: Выразим т.е.

2) Сделаем подстановку или , тогда , подставим в 1):

или .

3) Разделяем переменные и интегрируем:

,

получим

4) Подставим :

.

Ответ:

Задача 2. Решить самостоятельно дифференциальное уравнение по образцу задачи 1: .

 

Задача 3. Найти общее и частное решение уравнения:

 

Решить уравнения:

Задача 4. .

Задача 5. .

Задача 6. .

Задача 7. .

Объяснить алгоритм решения одного из дифференциальных уравнений данного занятия.

Задание для самостоятельной работы

 

Решить уравнения:

Задача 8. .

Задача 9. .

Задача 10. ;

Задача 11. при ;

Задача 12. ;

Задача 13. ;

Задача 14. .

Занятие №3. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Уравнение Бернулли

 

 

Цель занятия: уметь решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка, знать подстановку, сводящую уравнение Бернулли к линейному уравнению; воспитание элементов самостоятельных навыков, целеустремленности.

Учебные вопросы

 

1. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

2. Решение дифференциального уравнения Бернулли.

 

Ход занятия

 

Студенты должны предварительно подготовить теоретический материал лекции к данному практическому занятию по вопросам:

1. Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

2. Алгоритм решения линейного уравнения первого порядка.

3. Вид уравнения Бернулли, алгоритм его решения.

 

Рабочие формулы

 

1) Вид линейного дифференциального уравнения I порядка:

(1)

Решение ищется в виде:

(2)

где

(3)

Подставляем (2) и (3) в (1):

(4)

Из уравнения (4) получим два уравнения с разделяющимися переменными:

	(5)
	(6)

Решая уравнения (5) и (6), находим решение (2) уравнения (1).

2. Вид дифференциального уравнения Бернулли

(7)

Уравнение (7) разделим на , тогда

(8)

Вводится замена:

(9)

.

Подставляя (9) в (7) получим линейное уравнение первого порядка:

.

 

1. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

 

Задача 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

(*)

Решение. 1) Полагаем, , тогда .

2) Подставляем в (*), получим:

;

.

3) Рассматриваем два уравнения:

а) ;	(А)
б)	(В)

4) Решаем уравнение с разделяющимися переменными:

(принимаем ).

5) Подставляем найденные значения в уравнение (Б):

;

.

6) Получим:

.

Ответ:

 

Решить самостоятельно уравнения по образцу задачи 1:

Задача 2. .

Задача 3. .

Задача 4. .

 

2. Решение дифференциального уравнения Бернулли

 

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли: .

Решение. 1) Делим обе части уравнения на

(*)

2) Сделаем замену , тогда .

3) Подставляем в уравнение (*): .

4) Решаем линейное уравнение .

5) Положим , тогда .

6) Решаем уравнение:

7) Подставляем значение v в уравнение:

8) Находим .

9) Найдем .

Ответ:

 

Задача 6. Решить самостоятельно уравнение Бернулли по образцу задачи 5:

.

 

Задание для самостоятельной работы

 

Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение:

.

 

Задача 8. Решить линейное дифференциальное уравнение:

.

 

Задача 9. Решить уравнение Бернулли:

.

 

Решить уравнения:

Задача 10. ;

Задача 11. ;

Задача 12. ;

Задача 13. ;

Задача 14. ;

Задача 15. .