Неоднородное уравнение теплопроводности со смешанными граничными условиями.

Рассмотрим решение уравнения на примере следующей задачи.

В конечном стержне с теплоизолированной поверхностью действует источник тепла по закону . На левом конце задан тепловой поток , температура правого конца изменяется по закону . Начальная температура . Найти закон изменения температуры при a=1.

Эта задача сводиться к решению уравнения

с начальным условием и граничными условиями , .

Решение ищем в виде суммы . Подберем одну из функций, удовлетворяющую граничным условиям. Например, пусть . Очевидно, что . Метод Фурье не определяет функцию w(x,t), она подбирается.

Тогда функция удовлетворяет уравнению

с однородным начальным условием и однородными граничными условиями , .

К решению соответствующего однородного уравнения применим метод разделения переменных . В результате получим собственные значения и соответствующие собственные функции . Подставив v(x,t) в уравнение по известной схеме, получим

,

Окончательное решение примет вид

.

Примеры:

1. Решить уравнение

с начальным условием

и граничными условиями , .

2. Решить уравнение

с начальным условием

и граничными условиями , .

3. Решить уравнение

с начальным условием

и граничными условиями , .

Указание: решение следует искать в виде , где v(x,t) – решение уравнения с начальным условием и граничными условиями , .

4. Решить уравнение

с начальным условием

и граничными условиями , .

Указание: решение следует искать в виде .

Лекция 17.

Тема: Уравнение Лапласа.

Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа

(1)

В случае функции u=u(x,t) двух независимых переменных х, у уравнение Лапласа имеет вид

(2)

и в случае функции одного аргумента имеем

. (3)

Решениями уравнения (3) являются функции , где с₁, с₂ – произвольные постоянные.

Определение: Функция называется гармонической в области , если и удовлетворяет в области уравнению Лапласа (1).

Фундаментальные решения уравнений Лапласа.

Оператор Лапласа (1) в цилиндрических координатах определяется как

в сферических координатах

Пользуясь сферическими координатами, видим, что решение u=u(r) определяется из ОДУ

.

Интегрируя это уравнение, находим

.

Полагая, например, с₁=1, с₂=0, получаем

,

которую называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве.

Пользуясь цилиндрическими координатами, находим, что решение u=u(r) определяется из ОДУ

,

интегрируя которое, получим

.

Выбирая с₁=-1, с₂=0, получаем

.

которую называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.

Формулы Грина.

(4)

- первая формула Грина.

Меняя в формуле (4) u и v местами, получим

(5)

Вычитая равенства (4) и (5) почленно, находим

(6)

Это – вторая формула Грина.

Наконец, полагая в (4) u=v, получим

(7)

Это – третья формула Грина.

Здесь всюду n – вектор внешней нормали к гладкой или кусочно-гладкой замкнутой поверхности .

Основная интегральная формула Грина.

Для уравнения Лапласа на плоскости фундаментальное решение имеет вид . Можно получить интегральную формулу для гармонической функции двух аргументов:

Здесь Г – граница области D, n – вектор внешней нормали к границе (рис. 1). Таким образом, всякая гармоническая в области D функция u(x,y) есть сумма двух потенциалов

логарифмического потенциала простого слоя и логарифмического потенциала двойного слоя соответственно.

Рис. 1.

Лекция 18.