Тема: Вынужденные колебания струны с подвижными концами.

 

 

Рассмотрим колебания струны длины l, под действием внешней силы f(x,t), рассчитанной на единицу длины, причем концы струны не закреплены, а двигаются по заданному закону. Эта задача приводит к решению уравнения

(1)

при граничных условиях

(2)

и начальных условиях

. (3)

К решению этой задачи метод Фурье непосредственно не применим. Однако, эта задача сводиться к задаче с нулевыми граничными условиями. Для этого введем вспомогательную функцию

(4)

Легко видеть, что

(5)

Таким образом, функция w(x,t) на концах отрезка удовлетворяет условиям (2), а внутри этого отрезка она линейна по х (рис. 1). Говорят, что функция w(x,t) продолжает граничные условия в интервале 0<x<l.

рис. 1

Решение задачи (1) – (3) ищем в виде

 

где v(x,t) – новая неизвестная функция.

В силу выбора функции w(x,t) функция v=u-w удовлетворяет нулевым граничным условиям

(7)

и начальным условиям

. (8)

 

Подставив u=v+w в уравнение (1), получим

или, учитывая выражение для w(x,t),

,

где

.

Таким образом, при приходим к смешанной задаче с нулевыми граничными условиями для функции v(x,t): найти решение уравнения

с граничными условиями

и начальными условиями

.

Пример:

Решение: Вводим вспомогательную функцию

Решение исходной задачи будем искать в виде

(*)

где v(x,t) – новая неизвестная функция.

Для нее получаем уравнение

(I)

граничные условия

(II)

начальные условия

(III)

Задача (I) – (II) имеет очевидное решение v(x,t)=0, и это единственное решение. Тогда по формуле (*) получаем решение исходной задачи

 

Общая схема метода Фурье.

Рассмотрим уравнение

(1)

где для , так что уравнение (1) является уравнением гиперболического типа в области Q. Предположим, что

,

и займемся изучением смешанной задачи для уравнения (1) при однородных граничных условиях

где - некоторые постоянные, причем .

Возможны граничные условия следующих типов:

1. (струна с закрепленными концами (рис. 1 а));

2. (струна со свободными концами (рис. 1 б));

3. (упруго закрепленные концы (рис. 1 в)).

Ограничившись для простоты случаем струны с закрепленными концами, приходим к следующей задаче: найти решение u(x,t) уравнения

(1)

удовлетворяющее граничным условиям

(2)

и начальными условиями

(3)

Будем решать эту задачу методом Фурье.

1. Ищем нетривиальные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2), в виде

(4)

Подставляя u(x,t) в форме (4) в уравнение (1), получим

,

или

(5)

Получим

, (6)

(7)

Чтобы получить нетривиальные решения уравнения (1) вида (4), удовлетворяющие граничным условиям (2), необходимо, чтобы функция Х(х) была нетривиальным решением уравнения (7), удовлетворяющим граничным условиям

(8)

В силу однородности уравнения (7) и граничных условий (8) собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя. Выберем этот множитель так, чтобы

(9)

Собственные функции, удовлетворяющие (9), будем называть нормированными.

2. Обратимся к дифференциальному уравнению (6). Его общее решение при имеет вид

,

где - произвольные постоянные.

Каждая функция

будет решением уравнения (1), удовлетворяющим граничным условиям (2).

3. Составим формальный ряд

(10)

Если этот ряд, вместе с рядами, полученными из него двукратным почленным дифференцированием по x и t, сходиться равномерно, то сумма u(x,t) будет решением уравнения (1), удовлетворяющим граничным условиям (2).

Для выполнения начальных условий (3) необходимо, чтобы

, (11)

(12)

Таким образом, мы пришли к задаче о разложении произвольной функции в ряд Фурье по собственным функциям X_k(x) граничной задачи (7) – (8). Предполагая, что ряды (11) и (12) сходятся равномерно, можно найти коэффициенты a_k и b_k, умножив обе части равенства (11) и (12) на и проинтегрировав по х в пределах от 0 до l. Считая функции X_k(x) ортонормированными на отрезке [0,l], получим для коэффициентов Фурье функций и по системе {X_k(x)} следующие выражения: