Задача 5. Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции , т.е.

.

Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области изменения переменных выполнялось условие

(2)

В этом случае общий интеграл имеет вид или

.

 

Пример 6.

Решить уравнение .

Решение. Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах

.

Получили, что , условие (2) выполнено, значит данное уравнение в полных дифференциалах.

Найдем функцию . Для этого имеем систему:

Из первого уравнения, интегрированием по при постоянном , определяем :

,

где - произвольная функция (вместо постоянной интегрирования С берем функцию )

Частная производная , найденной функции должна равняться в силу второго уравнения системы, , что дает

,

.

Отсюда ,

- общий интеграл.

Ответ: , где .

 

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

,

уравнение в полных дифференциалах.

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Проинтегрировать уравнения в полных дифференциалах:

 

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

Задача 6. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка.

Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка.

Определить тип дифференциального уравнения и указать в общем виде метод его решения:

Пример 7.

а) . Ответ: однородное: .

б) . Ответ: в полных дифферен-

циалах.

в) . Ответ: линейное, .

г) .

Ответ: Бернулли, .

Упражнения.

Определить тип уравнения и указать в общем виде метод решения:

1. . Ответ: линейное, или

.

2. . Ответ: Бернулли, .

3. . Ответ: однородное, .

4. . Ответ: в полных дифферен-

циалах.

 

 

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Определить тип уравнения и указать в общем виде метод решения:

 

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13.
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .

Задача 7. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения первого порядка.

Упражнения. Определить тип уравнения и решить его:

1. . Ответ: с разделяющимися переменными,

.

2. . Ответ: однородное, .

3. . Ответ: линейное, .

4. . Ответ: Бернулли, .

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Определить тип уравнения и решить:

 

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.