Задача № 1. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, его общий интеграл имеет вид

.

Уравнение , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от и только от называется уравнением с разделяющимися переменными.

Путем деления на произведение оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

.

Замечание. Деление на может привести к потере частных решений, обращающих в ноль произведение .

Дифференциальное уравнение

,

где - постоянные, заменой переменных преобразуется в

уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на произведение

.

Получим уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, найдем

.

После потенцирования получим

или .

Откуда .

Обозначая , будем иметь или .

Получили общий интеграл этого уравнения. Функции , и - являются частными решениями.

Ответ: - общий интеграл.

Пример 2.

Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Имеем или .

Разделяем переменные, для этого обе части уравнения делим на произведение

.

Интегрируя, найдем общий интеграл

в качестве производной константы взяли .

После потенцирования, получим или - общее решение исходного уравнения.

Найдем константу , используя начальное условие , или

отсюда .

Искомое частное решение или решение задачи Коши .

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: или .

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Решить уравнения с разделяющимися переменными:

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

 

Задача 2. Однородные дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение (д.у.)

Называется однородным д.у. относительно и , если функция является однородной функцией своих аргументов нулевого измерения. Это значит

. Например функция - однородная

функция нулевого измерения.

Однородное д.у. всегда можно представить в виде

(1)

Введя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющимися переменными:

или переменные разделяются.

 

Пример 3.

Решить уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде , разделив на обе части уравнения. Сделаем замену . Тогда , . Получим или .

Разделяя переменные, будем иметь .

Отсюда интегрированием находим

или

, так как , то обозначая , получим

. Заменяя на , будем иметь общий интеграл

, отсюда - общее решение.

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Соберем коэффициенты при . Ответ: .

 

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Решить однородные дифференциальные уравнения:

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.