Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Общие сведения

ВАРИАНТЫ

 

15. Бегунов М.

16. Горбачева В.

17. Евсикова А.

18. Заикин А.

19. Камсулина М.

20. Марченкова О.

21. Маюрова Г.

22. Прадед А.

23. Шумакова М.

24. Юрасова А.

 

Замечание: теория и примеры – в помощь. Решаем то, где написано: ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

 

ЗАДАЧИ № 1-7

 

Задачи № 1-№ 5. Уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним, однородные и приводящиеся к однородным, линейным уравнения, уравнение Бернулли, уравнение в полных дифференциалах.

Задача № 6. Смешанные задачи на д.у. первого порядка. Определить тип уравнения и указать в общем виде метод решения.

Задача № 7. Смешанные задачи на д.у. первого порядка. Определить тип уравнения и решить.

 

Задача № 1. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, его общий интеграл имеет вид

.

Уравнение , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от и только от называется уравнением с разделяющимися переменными.

Путем деления на произведение оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

.

Замечание. Деление на может привести к потере частных решений, обращающих в ноль произведение .

Дифференциальное уравнение

,

где - постоянные, заменой переменных преобразуется в

уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на произведение

.

Получим уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, найдем

.

После потенцирования получим

или .

Откуда .

Обозначая , будем иметь или .

Получили общий интеграл этого уравнения. Функции , и - являются частными решениями.

Ответ: - общий интеграл.

Пример 2.

Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Имеем или .

Разделяем переменные, для этого обе части уравнения делим на произведение

.

Интегрируя, найдем общий интеграл

в качестве производной константы взяли .

После потенцирования, получим или - общее решение исходного уравнения.

Найдем константу , используя начальное условие , или

отсюда .

Искомое частное решение или решение задачи Коши .

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: или .

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Решить уравнения с разделяющимися переменными:

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

 

Пример 3.

Решить уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде , разделив на обе части уравнения. Сделаем замену . Тогда , . Получим или .

Разделяя переменные, будем иметь .

Отсюда интегрированием находим

или

, так как , то обозначая , получим

. Заменяя на , будем иметь общий интеграл

, отсюда - общее решение.

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Соберем коэффициенты при . Ответ: .

 

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Решить однородные дифференциальные уравнения:

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

 

Пример 4.

Решить уравнение .

Решение. Вид уравнения нормальный

.

Ответ: .

 

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. .

Приводим к виду , и решаем по формуле . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

 

Уравнение линейное относительно функции . Приводим его к виду

или .

 

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

1.	.
2.	.
3.	; .
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

Пример 5.

Решить уравнение Бернулли .

Приведем уравнение к виду

.

Обе части уравнения умножим на и сделаем замену , причем, , получим - это линейное уравнение относительно .

Получили .

Поэтому .

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

Уравнение следует переписать в виде

или - это уравнение Бернулли относительно функции .

4. . Ответ: .

Обе части уравнения следует умножить на и сделать замену .

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Решить уравнения Бернулли:

 

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

 

Пример 6.

Решить уравнение .

Решение. Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах

.

Получили, что , условие (2) выполнено, значит данное уравнение в полных дифференциалах.

Найдем функцию . Для этого имеем систему:

Из первого уравнения, интегрированием по при постоянном , определяем :

,

где - произвольная функция (вместо постоянной интегрирования С берем функцию )

Частная производная , найденной функции должна равняться в силу второго уравнения системы, , что дает

,

.

Отсюда ,

- общий интеграл.

Ответ: , где .

 

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

,

уравнение в полных дифференциалах.

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Проинтегрировать уравнения в полных дифференциалах:

 

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

ВАРИАНТЫ

 

15. Бегунов М.

16. Горбачева В.

17. Евсикова А.

18. Заикин А.

19. Камсулина М.

20. Марченкова О.

21. Маюрова Г.

22. Прадед А.

23. Шумакова М.

24. Юрасова А.

 

Замечание: теория и примеры – в помощь. Решаем то, где написано: ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

 

ЗАДАЧИ № 1-7

 

Задачи № 1-№ 5. Уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним, однородные и приводящиеся к однородным, линейным уравнения, уравнение Бернулли, уравнение в полных дифференциалах.

Задача № 6. Смешанные задачи на д.у. первого порядка. Определить тип уравнения и указать в общем виде метод решения.

Задача № 7. Смешанные задачи на д.у. первого порядка. Определить тип уравнения и решить.

 

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Общие сведения

 

Д.У. первого порядка это равенство, содержащее неизвестную функцию , производную и переменную , от которой зависит . Общий вид д.у. первого порядка

(1)

Обычно уравнение (1) стараются представить в форме, разрешенной относительно производной:

(2)

или в форме, содержащей дифференциалы:

(3)

От формы (2) можно перейти к форме (3) и наоборот.

В самом деле, если в уравнении (2) заменить через , умножить обе части уравнения на и перенести все члены в одну сторону, то получим

,

Что представляет собой форму (3), где , а .

Наоборот, член уравнения (3) вправо и разделить обе части уравнения на , предполагая, что , то получим , т.е. форму (2), где .

Таким образом, Формы (2) и (3) совершенно равноправны, в дальнейшем используется та или другая форма.

Еще раз подчеркнем, что для того, чтобы от формы (2), перейти к форме (3) надо записать как отношение и , т.е. деленное на .

Чтобы от формы (3) перейти к форме (2), из равенства (3) надо выразить отношение (частное) .

Дифференциальному уравнению удовлетворяет, вообще говоря, целая система функций.

Для выделения одной из них следует указать ее значение при каком-либо значении аргумента , т.е. задать условие вида при , которое называют начальным условием. Часто его записывают в виде

 

(4)

Решение уравнения (2) с условием (4) называют еще задачей Коши.

Решение.

(или интеграл ) д.у. (2), зависящие от произвольного постоянного С, называется общим решением (общим интегралом) д.у. (2), если путем подбора значений произвольного постоянного из него можно получить частное решение (частный интеграл), удовлетворяющее любому возможному начальному условию . (смотри теоремы существования и единственного решения задачи Коши).

Практически для определения С следует подставить в общее решение (общий интеграл) вместо заданные значения и и разрешить уравнение

Относительно произвольного С. Пусть , тогда частное решение будет (соответственно частный интеграл ).

Перейдем к рассмотрению отдельных типов дифференциальных уравнений, нахождение общих решений (общих интегралов) которых сводится к выполнению обычных операций вычисления интегралов.

В задачах № 1 - № 5 найти общее решение или общий интеграл и, где указано, решить задачу Коши.