Теоремы и свойства непрерывных функций.

Теорема 1: Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

 

Теорема 2: Пусть функции непрерывна в точке х_о, а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке x₀.

 

Теорема 3: Если функция непрерывна и строго монотонна на [а;b] оси Ох, то обратная функция

так же непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [с;d] оси Оу (без доказательства).

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Свойства непрерывных функций:

Теорема 1 (Вейерштрасса): Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие: Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

 

Теорема 2(Больцано-Коши): Если функция непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах неравные значения и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Следствие: Если функция непрерывна на отрезке [а;b] и на его

концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а; b] найдется хотя

бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль: .

 

Четыре условия непрерывности. Точки разрыва и их классификация.

4 условия непрерывности:

1) Определение 1: Функция называется непрерывной в точке x₀, если выполняются следующие три условия:

1) функция определена точке x₀, т.е.

2) существует

3)

 

Если в точке x₀ нарушено хоть одно из условий, то функция называется разрывной в точке x₀ , а точка x₀ называется точкой разрыва.

2) Определение 2: Функция называется непрерывной в точке x₀, если

3) Определение 3: Функция называется непрерывной в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

4) Определение 4: Функция , непрерывная во всех точках множества Х, называется непрерывной на этом множестве.

 

Если в точке x₀ нарушено хоть одно из условий, то функция называется разрывной в точке x₀ , а точка x₀ называется точкой разрыва.

Классификация:

1) Существует , но или или , то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва.

2) Не существует , но существуют два конечных односторонних предела

, которые не равны между собой, то точка х₀ называется точкой разрыва первого рода, а разность скачком функции в точке x₀.

3) Если хотя бы один из односторонних пределов обращается в бесконечность или не существует то точка x0 называется точкой разрыва второго рода.