Числовые функции и их свойства.

Если элементами множеств X и Y являются действительные числа, то функцию f называют числовой функицей.

Свойства:

1. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывае

2. Функция называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел их множества А выполняется условие: .

График возрастающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика увеличиваются

3. Функция называется убывающей на некотором промежутке А, если для любых чисел их множества А выполняется условие: .

График убывающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика уменьшаются (рис. 4).

4. Функция называется четной на некотором множестве Х, если выполняется условие: .

График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 2).

5. Функция называется нечетной на некотором множестве Х, если выполняется условие: .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2).

6. Если функция у = f(x) определена на множестве Х и существует такое , что для любого справедливо неравенство
f(x) f(x ),то говорят, что функция у = f(x) принимает наименьшее значение у = f(x ) при х = x (рис. 2, функция принимает наименьшее значение в точке с координатами (0;0)).

 

7. Если функция у = f(x) определена на множестве Х и существует такое , что для любого справедливо неравенство f(x) f(x ),то говорят, что функция у = f(x) принимает наибольшее значение у = f(x ) при х = x (рис. 4, функция не имеет наибольшего и наименьшего значений).

 

Если для данной функции у = f(x) изучены все перечисленные свойства, то говорят, что проведено исследование функции.

 

 

32. Предел функции при x x0, x , односторонние пределы.

1.) Предел функции при x x0:

Пусть дана функция y = f(x).

Опр: Число А называется пределом функции y = f(x) при x x0, если для любого Ɛ > 0, существует > 0, такое что, для всех x отличных от x0 и удовлетворяющих условию │x – x0│ < , выполняется условие │f(x) - A │ < Ɛ.

ó

и │x – x0│ < => │f(x) - A │ < Ɛ.

2.) Предел функции при x :

Рассмотрим поведение функции при неограниченном увеличении модуля │x│., т.е. при x (x ).

Опр: Число А называется пределом функции f(x) при x , если для любого Ɛ > 0, существует число N (Ɛ) > 0, такое что при всех x, удовлетворяющих x, │x│>N, выполняется условие │f(x) - A │ < Ɛ.

ó > 0 │x│ > N => │f(x) - A│ < Ɛ.

3.) Односторонние пределы:

При определении предела функции полагают, что x x0 произвольным образом, т.е. с обеих сторон, если число А1 – является пределом функции f(x), когда x x0 так что x все время остаётся меньшим чем x0, то число A1 называется пределом функции f(x) слева.

Аналогично определяется предел функции справа.

Обозначение 1 – предел справа.

2 – предел справа.

Пределы функции справа и слева называют односторонними пределами, если функция f(x) имеет в т. x0 двухсторонний или полный предел при x x0, т.е. , то односторонние пределы справа и слева существуют и равны числу А.

 

.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или оба существуют, но не равны между собой, то соответствующие точки полного предела НЕТ.

 

 

33. *Б.М.Ф. и теоремы о них.