Бесконечно малые, бесконечно большие последовательности.

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

 

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3,... 1, n,... не является бесконечно большой, так как при A > 1 неравенство не выполняется для x_n с нечетными номерами.

 

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечные малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

 

Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной.

 

 

1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть α _n и β _n - бесконечно малые последовательности.

ε > 0 N ₁ : n > N ₁ , <

ε > 0 N ₂ : n > N ₂ , <

α _n + β _n α _n + β _n

ε > 0 N = max (N ₁ , N ₂ ): n > N α _n + β _n < ε + ε =

2. Разница двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Эта теорема доказывается аналогично теореме о сумме двух бесконечно малых последовательностей, только вместо α _n + β _n α _n + β _n надо взять α _n − β _n α _n − β _n .

3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. M = max { ε, α₁ ,..., α _{N − 1} }

n: α _n M.

4. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство.

{α _n } бесконечно малая, { x_n } - ограниченная.

c > 0: x_n c, n < N

ε > 0 N : n > N , α _n <

α _n * x_n = α _n * x_n

ε > 0 N : n > N

α _n * x_n < ε.

5. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль.

Доказательство.

{α _n } - бесконечно малая последовательность.

При n N * α _n = c. Предположим, c 0.

Рассмотрим ε = c / 2 > 0. N : n > N (ε) α _n < c / 2.

Положим N ₁ = max , N *), тогда при n > N, c < c / 2 - противоречие, значит, c = 0.

6 (а). Если { x_n } - бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность {1 / x_n }, причём она является бесконечно малой.

6 (б). Если { y_n } - бесконечно малая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность {1 / e_n }, причём она является бесконечно большой.

Доказательство. M > 0 N (M): n > N (M) x_n > M.

Из этого видно, что начиная с определённого номера n > 0, а это значит, что последовательность определена.

{1 / x_n } < - бесконечно малая.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.