Алгебраичность конечного расширения.

Расширение полей наз. алгебраическим, если каждый эл-т е явл. алгебраическим над F.

Теорема. Каждое конечное расширение ЕᴐF ([E:F]< ) явл. алгебраическим над F.

Д-во: Пусть ЕᴐF – конечное расширение степени n: [E:F]=n. Возьмем произвольный эл-т a?E\{0}. С-ма векторов 1,а,а²,…,aⁿ л.з. над F [ (n+1) векторов в n-мерном пространстве л.з.], это зн., что ᴲ такие с₀,с₁,…,с_n?F не все =0, такие что с₀+с₁а+…с_nаⁿ=0 => эл-т а явл. корнем полинома f(x)=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀, f(x)≠0 => a – алгебр. эл-т над F.

 

25. Простое расширение поля с помощью примитивного элемента. Поле . Простое алгебраическое расширение и простое трансцендентное расширение: определение, примеры.

Пусть ЕᴐF– расширение полей, а?Е, .

Теорема. 1. F(a) – поле. 2. F(a) - наименьшее подполе Е, которое содержит F, a. 3. F(a) – пересечение всех подполей поля Е, которое содержит F,a.

Д-во: (1) ] подкольцо, a^-1?F(a), 1?F(a).

F(a)сЕ подполе Е, зн. F(a) – поле.

Поле F(a) наз. простым расширением поля F. Эл-т а наз. примитивным эл-том этого расширения.

Пусть ЕᴐF, a?E. 1. Если а – алгебр.эл-т над полем F, то F(a) наз. простым алгебр.расширением. 2. Если а – трансцендентный эл-т, то F(a) наз. простым трансцендентным расширением.

Примеры. 1. Q() – простое алгебр. расширение.

r₁+r₂ .

2. - простое трансцендентное расширение поля Q, которое получается присоединением к полю Q трансцендентного эл-та .

 

26. Простое расширение поля с помощью примитивного элемента. как наименьшее подполе, которое содержит и . Простое алгебраическое расширение и простое трансцендентное расширение: определение, примеры.

Пусть ЕᴐF– расширение полей, а?Е, .

Теорема. 1. F(a) – поле. 2. F(a) - наименьшее подполе Е, которое содержит F, a. 3. F(a) – пересечение всех подполей поля Е, которое содержит F,a.

Д-во: (2) FcF(a). Д-ть, что c?F. .

f(x)=c, g(x)=1. . a?F(a), . ,

F(a) – наименьшее поле, которое содержит F,a.

Если TcE, которое содержит F,a, то F(a)cT.

f(x),g(x)?F[x], f(x)=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀, g(x)=b_mx^m+…+b₁x+b₀, a_i,b_j?F.

f(a)=a_naⁿ+…+a₁a+a₀?T

?F?T?F?T?F

g(a)=b_ma^m+…+b₁a+b₀?T

?F?T?F?T?F

Получили, что каждый эл-т поля F(a) => F(a)cT.

(3) Пусть Р – пересечение всех подполей поля Е, которое содержит F и а. Докажем, что P=F(a).

Т.к.каждое из полей содержит F и a, то пересечение этих подполей тоже содержит F и а. Пересечение Р содержится в каждом из таких полей, т.е. PcF(a). Т.к. F(a) – наименьшее из подполей Е, то F(a)cP.

Поле F(a) наз. простым расширением поля F. Эл-т а наз. примитивным эл-том этого расширения.

Пусть ЕᴐF, a?E. 1. Если а – алгебр.эл-т над полем F, то F(a) наз. простым алгебр.расширением. 2. Если а – трансцендентный эл-т, то F(a) наз. простым трансцендентным расширением.

Примеры. 1. Q() – простое алгебр. расширение.

r₁+r₂ .

2. - простое трансцендентное расширение поля Q, которое получается присоединением к полю Q трансцендентного эл-та .

 

Квадратичное расширение поля. Критерий квадратичности расширения поля.

Пусть F- числовое поле, d?F, . Поле F() наз. квадратичным расширением поля F.

Теорема. Е – квадратичное расширение поля F ó когда степень расширения =2, т.е. [E:F]=2.

Д-во: => F- числовое поле [подполе C], d?F, F.

=> [E:F]=2.

<= [E:F]=2, ᴲa?E\F и степень этого эл-та над полем F =2. Если рассм. 1,а,а², то они л.з., зн. ᴲс₀,с₁?F | a²+c₁a+c₀=0. Зн., а – корень полинома f(x)= x²+c₁x+c₀ => .

E=F(a)=F(), .

[E:F(a)][F(a):F]=[E:F]=2 => E=F(a)=F().

=1 =2

28. Теорема об избавлении от иррациональности в знаменателе дроби: построение взаимно простых полиномов и .

Теорема: Пусть -расширение полей, -алгебраический элемент степени n под F, тогда каждый элемент (а) из простого расширения F(a),можно представить в виде t=h(a),где h(x) – полином над полем F степень которого deg h(x) такое представление единственное.

Д-во: F(a)=

Поскольку a-алгебраический элемент степени n над F, то по определению существует min полином p(x) deg p(x)=n элемента a, min полином p(x) не приводим.

НОД (p(x),g(x))=1.

Ранее было доказано, что если p(x) не приводим над полем , то возможны только два случая:

От противного

если бы

Значит НОД u(x),v(x)

u(x) v(x)p(x)=1

Возьмем x=a: u(a) v(a) =1

u(a)

=

Полином разделим с остатком на

x=a:

, deg h(x) n-1

t=h(a)

 

29. Теорема об избавлении от иррациональности в знаменателе дроби: единственность. Построение поля для алгебраического элемента (следствие 1).

Теорема: Пусть -расширение полей, - алгебраический элемент степени n под F, тогда каждый элемент (а) (из простого расширения F(a)), можно представить в виде t=h(a),где h(x) – полином над полем F степень которого deg h(x) такое представление единственное.

Д-во: единственность

Пусть t=h(a)

t= , где t=h(a), t=

deg h(x)

deg

тогда а - корень полинома h(a)-

возможны два случая:

если , то это полином степени над F корнем которого является а.?!

[ Противоречие: т.к. а – алгебраический элемент степени n над F и степень полинома наименьшей степени над F корнем которого является а= n]

Следствие 1: Пусть E F -расширение полей, а Е-алгеброический элемент степени n над F, тогда F(a)= и степень[F(a):F]=n

[то есть степень ровна степени min полинома элемента а надF,другими словами векторы 1,а,…, базис F(a)над F]

Д-во: ,...,a,1 - система образующих для линейного пространства F(a) над F. Из теоремы следует, что F(a) можно записать в виде t=h(a), где h(x) F[x], deg h(x) n-1

Т. обр. каждый элемент из F(a) имеет вид:

=> ,...,a,1- система образующих F(a) над F.

- ,...,a,1-линейно независимы над F

Допустим

Это значит, что a- корень полинома

f(x)=

f(a)=0,но f(x) , f(x) F[x], deg f(x) deg p(x)=n?!

Конец док-ва.