Расширение поля. Степень расширения. Расширение как линейное пространство. Мультипликативность степени расширения(система образующих).

Опр. Если Р-подполе поля F, то F –наз. расширением поля Р.

Замечание: В этом случае F можно рассматривать как линейное пространство над полем Р.

Опр. Размерность F над Р наз. степенью расширения F над Р. Обозначение - [F:P]

Если F над Р <∞, то F наз. конечным расширением поля Р. Другими словами F конечное над Р.

Теорема. Пусть L, K, F – поля. L K⊃F. [L:K]<∞,[K:F]<∞,тогда L⊃F-конечное расширение, т.е. [L:F]<∞.

Верно равенство: [L:K][K:F]=[L:F]- мультипликативность степени расширения.

Док-во:

· пусть степень расширения [L:K]=S, зн. Имеем базисс из S-элементов(векторов) u₁, u₂, ….., u_s L.

· пусть степень расширения [K:F]=t,тогда расширение K⊃F имеет базисс из t-векторов: v₁, v₂, ….,v_t K

Докажем, чтос тепеньвекторов u_i v_j, где 1 i S, 1 j t (*) является базисом L над F.

2) Докажем, что: система векторов (*) над F (*)

, 1 i S, 1 j t, такие что a_ij u_i v_j =0 _– система образующих линейного пространства L над полем F. Т.е_. можно представить в виде линейной комбинации векторов из системы (*).

· Пусть х L, u₁, u₂, ….., u_s – базис L над K поэтому существует

с₁,с₂, ….., с_s К такой что х= с₁u₁+ …+ с₁u₁= (1)

· v₁, v₂, ….,v_t –базис К над F, поэтому каждый вектор с_i К явл.

линейной комбинацией векторов v₁, v₂, ….,v_t с коэффициентами из поля F. Т.е. мы получим (2)

· Подставим . Таким

Образом(*)-система образующих линейного пространства Lнад полем F

3) Так как в базисе (*) st векторов, то степень расширения [L:F]=st=[L:K][K:F] ◄

19.Характеристика поля: определения, примеры, свойства.

Опр. Пусть P-поле, для n N элемент n*1= неравный 0,то говорят, что поле Р имеет характеристику 0.

Если для некоторого n N элемент n*1=0, то наименьшее такое натуральное число n наз. полем положительной характеристики или полем характеристики Р.

Обозн. char P=0 или char P=p>0.

Примеры. 1. Поле Q, R, C имеет характеристику 0. char Q=0, char R=0,char C=0

2. Кольцо классов вычетов -поле ⇔m=p-простое число

-поле классов вычетов целых чисел, но поле Р состоит из р эл-ов. char =p.

Замечание.

1) Примерами полей положительной хар-ки явл. все конечные поля, т.е. поля которые состоят из конечного числа эл-ов. Но существуют и бесконечные поля,которые имеют положительную характеристику.

2) не явл. числовым полем, его эл-ты явл. классы эквивалентности по модулю.

Теорема. Если поле Р имеет хар-ку р>0,то р-простое число.

Док-во. (от противного)

Из рав-ва р=s*t,где s<p, t<p⇒ (s*1)(t*1)=st*1=p*1=0,но в поле нет делителей 0,поэтому s*1=0 или t*1=0.Противоречие.

Свойства

1. а) если хар-ка поля Р=р, то а Р, /n p имеет место n*a=0.

б) если р=0, то и n*a 0

а) char P=p, пусть n=p* , тогда n*a=

б) char P=0, то из n*a=(n*1)* =0⇒n*1=0.

char P=0⇒n=0-противоречие.

2. Если char P=p, то то верно рав-но .

Док-во. ММИ по n.

n=1:

Значит,

Пусть утверждение верно при n=k-1.

n=k: .

Следствие. Если характеристика Р=р, то

20. Пересечение подполей как подполе поля. Простое поле: определение, примеры, Изоморфизм простого подполя или .

Св-во 1. Если Р поле, Р₁,Р₂ – подполя поля Р, тогда Р₁∩ Р₂ – подполе поля Р.

►1) 0 и 1 поля Р содержаться и в Р₁ и в Р₂ (по определению подполя)⇒0 и 1 Р₁∩ Р₂.

2.) а) Рассмотрим 2 этапа a и b Р₁∩Р₂ ⇒(a,b P₁)˄(a,b P₂)⇒ (ab P₁)˄ (a-b P₂)⇒a-b P₁∩P₂

b) a, b Р₁∩Р₂ ⇒ a,b P₁ ˄ a,b P₂ ⇒ (ab^-1 P₁)˄ (ab^-1 P₂)⇒т.е. пересечение подполей является подполем ab^-1 P₁∩ P₂. ◄

Следствие. Пересечение Р_i (i I) произвольного семейства подполей поля Р,является подполем поля Р.

Опр. Поле в котором нет не одного собственного подполя, наз простым.

Св-во 2. Q, Z_p- простые поля.

Теорема. В произвольно поле Р содержится ровно 1 или ровно одно подполе Р:

1) если char P=0, то Р₀ изоморфно Q.

2)если char P=р, то Р₀ Z_p

Алгебраические и трансцендентные эл-ты: определение, пр-ры. Минимальный полином. Степень алгебраического эл-та. Неприводимость миним. полинома.

Пусть ЕᴐF расширение полей. Эл-т а?Е наз. алгебраическим над F, если ᴲ ненулевой полином f(x)?F[x] такой, что f(a)=0. Если такого полинома не ᴲ, это зн., что f(x)?F[x] f(a)≠0, то эл-т а наз. трансцендентным над F.

Замечание. Если F=Q – слова «над полем Q» не говорят.

Пример. Рассм. эл-т а= .

a-3= , (a-3)³=7-2i, (a-3)³-7=-2i, ((a-3)³-7)²=(-2i)², ((a-3)³-7)²=-4, ((a-3)³-7)²+4=0, f(x)= ((a-3)³-7)²+4 => а – алгебраическое число.

Пусть расширение полей ЕᴐF, а?Е. Минимальным полиномом эл-та а наз. ненулевой полином f(x)?F[x] наименьшей степени со старшим коэф-том 1, такой что f(a)=0. Степень полинома f(х) наз. степенью эл-та а.

Пример. Явл. ли число алгебраическим? Если да, то найти его степень.

1. =a, 5-а²=0, а²-5=0, f(x)=x²-5 алг.эл-т, f(x) – миним.полином, f(x) – неприводим по критерию Эйзенштейна, р=5.

2. a= , a³-5=0, f(x)=x³-5 – по критерию Эйзенштейна неприводим.

Утверждение. Миним. полином f(x) эл-та а неприводим.

Д-во: Пусть f(x)=g(x)h(x), f(x),g(x),h(x)?F[x], deg g(x)<deg f(x), deg h(x)<deg f(x).

0=f(a)=g(a)h(a) [нет делителей 0] g(a)=0 или h(a)=0 (противоречие).