Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Б.а.о. и их св-ва (коммут-ть, ассоц-ть, нейтральный эл-т, симметричный эл-т).Стр 1 из 5Следующая ⇒
Б.а.о. и их св-ва (коммут-ть, ассоц-ть, нейтральный эл-т, симметричный эл-т). Пусть G-непустое мн-во. Бинарной алгебраической операцией наз. некоторое отображение из дек. отображения f:GxG->G. Обозн.g1og2. Форма записи б.а.о. аддитивная и мультипликативная. При аддитивной ф.з. – операция сложения (g1+g2). При мультипликативной – умножение (g1*g2). Пример. R: +,*,- б.а.о.; / не явл.б.а.о. на R. N: +,*; -,/ не явл.б.а.о. на N. R*=R\{0}: / б.а.о. V3: +,-,* P(A) – мн-во всех подмн-в мн-ва А: U,∩,\. Если на мн-ве определена б.а.о. (общий знак o), то обозн. <A, o> и говорят, что композиция определяет на А алгебраическую стр-ру, или что <A, o> - алгебр.стр-ра (алгебр. с-ма). Б.а.о. на мн-ве А наз. ассоциативной, если для Замечание. Св-ва ассоц-ти и коммут-ти независимы: · на мн-ве матриц (АВ)С = А(ВС), но АВ ≠ ВА. · Z: n*k = -n-k, k*n = -k-n, (1*2)*3 = -(-1-2)-3 = 0, 1*(2*3) = -1-(-2-3) = 4. Эл-т е?A наз. нейтральным относительно б.а.о. o на А, если Замечание. Если задана мультипликативная стр-ра, то нейтр.эл-т наз. единицей, если аддитивная, то нулем. Св-во1: Если в алгебр.стр-ре есть нейтр.эл-т, то он единственный. Д-во: (от противного) Пусть ᴲе1,е2: е1 oе2 =е1, е1o е2 =е2 => е1=е2. Эл-т b?A наз. симметричным эл-ту а?A, если a o b = b o а=е. Замечание. 1)Если b сим-ный к а, то а сим-ный к b. 2)Если алгебр.стр-ра аддитивная, то сим-ный эл-т наз. противоположным, если мультипликативная – обратным. Св-во2: Пусть <A, o> ассоц. алгебр. стр-ра с нейтр.эл-том е, тогда Д-во: Пусть b1,b2 – 2 сим-ных эл-та к а. тогда (b1 o a) o b2 = e o b2 = b2 ð b1=b2 b1 o (a o b2) = b1 o e = b1
Теорема о независимости результата ассоциативной б.а.о. от расстановки скобок. Теорема. Если б.а.о. на А ассоц-на, то рез-т ее последовательного применения к n эл-там мн-ва А не зависит от расстановки скобок. Д-во: ММИ по n. Если n=1 д-ть нечего. n=2 - д-ть нечего. n=3 => из св-ва ассоц-ти. … n=k – предположим, что вып-ся. n=k+1: · (a1 o а2 o … o аk) o аk+1 · (a1 o … o аm) o ((am+1 o … o аk) o ak+1) a1 o … o аm o am+1 o … o аk o ak+1
Степень элемента и ее свойства. Таблица Кэли. Определение группы и ее свойства. Если на множестве А определена ассоциативная операция умножения, то можно определить степени эл-та а А =а (n раз) n N
Свойства: Пусть <А, > ассоциативная алгебраическая структура, тогда для а А 1. ; 2. ; Если А={ } – конечное мн-во, то б.а.о. на А можно задать с помощью таблицы Кэли
4.Подгруппа: определение и примеры. Критерий подгруппы. Не пустое множество G с определенной на нем б.а.о. называется группой, если: 1. ассоциативность; 2. нейтральный элемент; 3. a°b=b°a=e обратимый элемент; Примеры. <R, +>- группа; <R,×>-не группа, нет обратного; Если операция в группе коммутативна, то группа наз. коммутативной или абелевой. Замечание. Если операция на группе задается как произведение, то группа наз. мультипликативной, элемент е наз. 1; симметрический эл-т к а называется обратным к а, а элемент наз. обратимым. (+)-аддитивная, e - нуль, симметрический - противоположным. Свойства: Если G - мультипликативная группа, то 1. в G существует единственная единица; 2. каждый эл-т а?G имеет единственный обратный [ ]; 3. уравнение ах=b,где имеет в G единственное решение [ ] Пусть H , если H является группой относительно операций, определенных в G (рассматриваются ограничения операции в G на H), то H наз. подгруппой G. Замечание. Тривиальные подгруппы G и {e}. Критерий подгруппы. Подмножество H мультипликативной группы G является подгруппой т.и.т.т. когда выполняются следующие условия: 1. ab 2. 3. Примеры групп. <Z[x], +>; <Q[x], +>; < >; GLn(Q)={A }; SLn(Q)={A } 5. Гомоморфизм групп: определение и примеры. Ядро гомоморфизма и его свойства. Изоморфизм групп, определение и примеры. Даны две группы <G1, ʘ>, <G2, *>. Отображение f:G1→G2 наз. гомоморфизмом, если это отображение сохраняет операцию, т.е. f(aʘb)=f(a)*f(b), a, b G1 Примеры: 1. Рассм. f: <R*;*> -> <{±1}; *>: a→ Ker f ={a } – группа 2. Рассм. g:GLn(R)→R*:A→det A. g(AB)=det(AB)=detAdetB=g(A)g(B) Ker g = SLn(R) Прообраз 1 при гомоморфизме f:G1→G2 наз. ядром гомоморфизма и обозн. Ker f. Свойства гомоморфизма: 1. Если f:G1→G2 - гомоморфизм, то f(G1)<f(G2) = Im G1 = Im G1 2. Если f:G1→G2 гомоморфизм, то f(e1)=e2, f(a-1)=f(a)-1 Отображение f:G1→G2 наз. изоморфизмом, если f – биекция (взаимно однозначное отображение), f – гомоморфизм.
Пример. f:<Z;+>→<2Z;+>:a→2a.
6. Кольцо: определение, примеры, простейшие свойства. Делители нуля и обратимые элементы в кольце: определение, примеры. Кольцом наз. мн-во К с двумя заданными на нём б.а.о.: сложением и умножением, удовлетворяющими след. св-вам: 1. <K; +> - абелева группа (коммутативная); 2. a(bc)=(ab)c, a, b, c K (ассоц.) 3. законы сложения и умножения связаны законом дистрибутивности: a(b+c)=ab+ac, a, b, c K (a+b)c=ac+bc, a, b, c K Примеры: 1. Числовые кольца: <Z;+;*> < <Q;+;*> < <R;+;*> < <C;+;*> 2. Полиномиальные кольца: <Z[x];+;*> < <Q[x];+;*> < <R[x];+;*> < <C[x];+;*> 3. <Z[x1];+;*> < <Z[x1, х2];+;*> < …. 4. <Z[x1, х2, …, хn];+;*> < <Q[x1, х2, …, xn];+;*> … 5. Кольцо симметрических полиномов: Sn[x1, …, xn] 6. Матричные кольца: <Mm×n(Z); +;*> < < Mm×n(Q); +;*> Простейшие свойства колец: 1) a(b1+b2+…+bn)=ab1+ab2+…+abn 2) (a1+a2+…+an)b=a1b+a2b+…+anb 3) a(b-c)=ab-ac 4) (a-b)c=ac-bc 5) n N a*nb=na*b=n(ab) 6) a*0=0*a=0 7) (-a)b=a(-b)=-ab Делителями нуля наз. такие элементы a, b K, что a≠0, b≠0, но ab=0. Примеры: 1. <Z;+;*> -- без делителей нуля. 2. <M2×2(Z);+;*> -- с делителями нуля Замечание. Обратимый элемент кольца не может быть делителями нуля.
7. Группа К* обратимых элементов кольца К. Утверждение. Если К кольцо с 1, то множество К* с обратимым элементом кольца К является мультипликативной группой. Док-во: Проверим сначала, что операция «*» -есть отображение с операцией на множестве К*,т.е. для любых элементов a,b К*: ab К* Рассмотрим а-1b-1 элементов К обратимых b и а: Доказано!
8. Подкольцо: определение, примеры, критерий подкольца. Пусть К2cК1. К2 – наз. подкольцом, если К2 является кольцом относительно операций, заданных на К1. Теорема(критерий подкольца). Подмножество К2 кольца К1 является подкольцом ó когда вып-ся след.: 1. К2 2. Если a,b К2 a – b К2 3. Если a,b К2 a*b-1 К2 9.Гомоморфизмы и изоморфизмы колец: определение, примеры. Ядро гомоморфизма как идеал кольца. Важнейший пример гомоморфизма колец Отображение наз. гомоморфизмом, если: 1) f(a+b)=f(a) 2) f(a+b)=f(a) – если выполняются эти условия Изоморфизм – это такой гомоморфизм, который является биекцией. Пусть К и К’- кольца. Отображение называется гомоморфизмом, если: Если - биекция, то называется изоморфизмом. Пример1: , - сюрьекция, но не является инъекцией. Пример2: – это изоморфизм Пример3: Опр. Пусть гомоморфизм колец, - нуль кольца К’. Прообраз элемента , при гомоморфизме называется ядром гомоморфизма . Теорема. Ядро гомоморфизма является идеалом кольца К. Теорема (важнейший пример гомоморфизма). Пусть К-кольцо, I-идеал кольца К, тогда отображение является сурьективным гомоморфизмом, его ядро совпадает с I. Замечание: Идеалы кольца – это ядро его гомоморфизма. Теорема: Если произв. гомоморфизм, то – изоморфно.
10. Поле: определение, примеры и простейшие свойства (нет делителей 0, уравнение имеет единственное решение). Критерий подполя. Мультипликативная группа поля. Коммутативное кольцо с 1, в котором не меньше 2-х элементов называется полем, если любой не нулевой элемент в нем обратим. Не пустое подмножество P1 поля P называется подполем поля P, если оно является полем относительно операций «+» и «*» поля P. Теорема (критерий подполя). Не пустое подмножество P1 поля P, в котором не меньше двух элементов является подполем поля P ó выполняются следующие условия:
1) 2) Пример1: . Z – не поле, т.к обратный элемент ±1 – это не достаточно Пример2: Поле из 2-х элементов , на каждом «+» и «*» задается таблиц.:
Док-во. 1*1=1 Пример3: Док-во. -кольцо · Ком.умнож следует из ком. R; Ед.: ; Пример4: Какое из множеств является полем относительно «+» и «*»? 1) mZ –множество целых чисел, кратных m нет 2) да 3) нет 4) да 5) да 6) да 7) нет Замечание: Поле-это кольцо в котором не нулевые элементы образуют группу. Это группа называется мультипликативной группой поля. Пример. , Замечание: Поле P изоморфно , если они изоморфны как кольца. Имеет ли смысл говорить о гомоморфизме полей? Замечание: В поле нет делителей нуля. Для имеет единственное решение: Свойства полей: Пусть P-поле, 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
11. Поле дробей области целостности: построение, примеры, теорема. Пусть К – коммутратвное кольцо с единицей без делителей нуля. На мн-ве пар введём отношение эквивалентности. Д-во: Рефлексивность, симметричность очевидна. Транзитивность: =>
Введённое отношение явл. отношением эквивалентности. Класс эквивалентности, который содержит пару . Множество всех дробей обозначим Q(K). Определим операции сложения и умножения дробей по правилу: Введённые операции над дробями определены корректно, т.е. не зависят от выбора представителей класса эквивалентности. Теорема. Q(K) относительно введённых операций явл. полем. Это поле называется полем дробей области целостности К. Д-во: <Q(K), +> -- абелева группа, асс., ком., - нуль Дистрибутивность Ед.: Обр. эл. Примеры: 1) Поле дробей кольца Z целых чисел - есть поле Q рациональных чисел. 2) Поле дробей кольца полиномов P[x] над полем Р от одной переменной наз. полем рац. функций над полем Р и обозначается P[x] 3) Поле дробей над кольцом полиномов от n переменных над полем Р наз. полем рациональных функций от n переменных над полем Р и обозначается P[x1, x2, …,xn ]. 12. Левые и правые смежные классы группы по подгруппе: определение, примеры и свойства (утверждения 1 – 3). Пусть H подгруппа группы G, , (a – фиксированный эл-т из G) мн-во наз. левым смежным классом группы G по подгруппе H. – правый смежный класс. Каждый эл-т смежного класса наз. представителем этого класса. Примеры. 1. Левые смежные классы GLn(R) по подгруппе SLn(R) состоят из матриц [|B*A|=|B|*|A|=|B|, ]. Смежные классы в этом случае состоят из матриц с одинаковыми делителями и детерминантом.
2. Левые смежные классы аддитивной группы Z по подгруппе mZ () состоят из чисел, которые при делении на m дают одинаковые остатки. Утверждение 1. Семейство левых (правых) смежных классов группы G по подгруппе H образует разбиение группы G. Утверждение 2. Пусть H подгруппа группы G, , тогда следующие условия эквивалентны: 1) Элементы a и b принадлежат одному смежному классу группы G по подгруппе H. 2) aH=bH 3) 4) Утверждение 3. Пусть H подгруппа группы G, тогда соответствие является взаимно однозначным соответствием между мн-вом левых смежных классов G по Н и мн-вом правых смежных классов G по Н, т.е. мощность мн-ва левых смежных классов G по Н совпадают с мощностью правых смежных классов G по Н.
13. Индекс подгруппы: определение, примеры. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы: определение, примеры и простейшие свойства. Мощность (число) различных левых смежных классов гр. G по подгруппе Н наз. индексом подгр. Н гр. G и обозначается |G:H|. Пример. |Z: mZ|=m Теорема Лагранжа. Пусть n - порядок гр. G [|G|=n], k порядок подгруппы Н [|H|=k], j индекс H в G [j=|G:H|], тогда n=k*j. Следствие. Если группа G конечная, то порядок подгруппы конечной группы явл. делителем порядка группы. Подгруппа Н группы G наз. нормальной подгруппой (нормальным делителем), если . [Н ⊲ G] Примеры. 1. Тривиальные нормальные подгруппы группы G: G, {e} 2. S Ln(ℝ) n(ℝ) Утверждение. Следующие условия эквивалентны: 1. Н ⊲ G 2. a-1Ha = H Утверждение. Пусть Н ⊲G, пусть a,b G, тогда: 1)aH * bH = (ab)H 2)aH*H = H*aH = H 3)a-1H*aH = aH* a-1H = H Опр. Множество смежных классов группы G по нормальной подгруппе Н будет обозначаться , =aH. Утверждение. Множество смежных классов с операцией умножения подмножеств является группой.
14.Фактор-группа: определение и примеры. Основная теорема о гомомрфизмах групп ( f:G -> G/H ). Канонический гомоморфизм: определение и примеры. Группа G явл. фактор-группой группы G по нормальной подгруппе Н. Пример. Фактор-группа Z/mZ={ } 0+mz 1+mz m-1+mz Теорема. Пусть Н - норм.подгр. гр.G и =G/H, тогда отображение f:G -> G/H: a -> явл. гомоморфизмом. Ядро этого гомоморфизма Ker f = H. Этот гомоморфизм наз. естественным (каноническим). Замечание. Т.обр., в каждой нормальной подгр. Н гр. G соотв-т гомоморфизм f, ядром которого явл. эта норм.подгр. Пример. Z -> Z/mZ: m-> .
Замечание. 1) Примерами полей положительной хар-ки явл. все конечные поля, т.е. поля которые состоят из конечного числа эл-ов. Но существуют и бесконечные поля,которые имеют положительную характеристику. 2) не явл. числовым полем, его эл-ты явл. классы эквивалентности по модулю. Теорема. Если поле Р имеет хар-ку р>0,то р-простое число. Док-во. (от противного) Из рав-ва р=s*t,где s<p, t<p⇒ (s*1)(t*1)=st*1=p*1=0,но в поле нет делителей 0,поэтому s*1=0 или t*1=0.Противоречие. Свойства 1. а) если хар-ка поля Р=р, то а Р, /n p имеет место n*a=0. б) если р=0, то и n*a 0 а) char P=p, пусть n=p* , тогда n*a= б) char P=0, то из n*a=(n*1)* =0⇒n*1=0. char P=0⇒n=0-противоречие. 2. Если char P=p, то то верно рав-но .
Док-во. ММИ по n. n=1: Значит, Пусть утверждение верно при n=k-1. n=k: . Следствие. Если характеристика Р=р, то 20. Пересечение подполей как подполе поля. Простое поле: определение, примеры, Изоморфизм простого подполя или . Св-во 1. Если Р поле, Р1,Р2 – подполя поля Р, тогда Р1∩ Р2 – подполе поля Р. ►1) 0 и 1 поля Р содержаться и в Р1 и в Р2 (по определению подполя)⇒0 и 1 Р1∩ Р2. 2.) а) Рассмотрим 2 этапа a и b Р1∩Р2 ⇒(a,b P1)˄(a,b P2)⇒ (ab P1)˄ (a-b P2)⇒a-b P1∩P2 b) a, b Р1∩Р2 ⇒ a,b P1 ˄ a,b P2 ⇒ (ab-1 P1)˄ (ab-1 P2)⇒т.е. пересечение подполей является подполем ab-1 P1∩ P2. ◄ Следствие. Пересечение Рi (i I) произвольного семейства подполей поля Р,является подполем поля Р. Опр. Поле в котором нет не одного собственного подполя, наз простым. Св-во 2. Q, Zp- простые поля. Теорема. В произвольно поле Р содержится ровно 1 или ровно одно подполе Р: 1) если char P=0, то Р0 изоморфно Q. 2)если char P=р, то Р0 Zp От противного если бы Значит НОД u(x),v(x) u(x) v(x)p(x)=1 Возьмем x=a: u(a) v(a) =1 u(a) = Полином разделим с остатком на x=a: , deg h(x) n-1 t=h(a)
29. Теорема об избавлении от иррациональности в знаменателе дроби: единственность. Построение поля для алгебраического элемента (следствие 1). Теорема: Пусть -расширение полей, - алгебраический элемент степени n под F, тогда каждый элемент (а) (из простого расширения F(a)), можно представить в виде t=h(a),где h(x) – полином над полем F степень которого deg h(x) такое представление единственное. Д-во: единственность Пусть t=h(a) t= , где t=h(a), t= deg h(x) deg тогда а - корень полинома h(a)- возможны два случая: если , то это полином степени над F корнем которого является а.?! [ Противоречие: т.к. а – алгебраический элемент степени n над F и степень полинома наименьшей степени над F корнем которого является а= n] Следствие 1: Пусть E F -расширение полей, а Е-алгеброический элемент степени n над F, тогда F(a)= и степень[F(a):F]=n [то есть степень ровна степени min полинома элемента а надF,другими словами векторы 1,а,…, базис F(a)над F] Д-во: ,...,a,1 - система образующих для линейного пространства F(a) над F. Из теоремы следует, что F(a) можно записать в виде t=h(a), где h(x) F[x], deg h(x) n-1 Т. обр. каждый элемент из F(a) имеет вид: => ,...,a,1- система образующих F(a) над F. - ,...,a,1-линейно независимы над F Допустим Это значит, что a- корень полинома f(x)= f(a)=0,но f(x) , f(x) F[x], deg f(x) deg p(x)=n?! Конец док-ва. Д-во. n=2 Утверждение верно по следствию 3. Допустим, что это утверждение верно для n-1. – конечное расширение поля F. ()Ↄ – конечное расширение поля F. Тогда ()Ↄ ↃF() ↃF. Доказано! Шаги построения. 1) Построить прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2, его гипотенуза = . 2) Уменьшить на 1 гипотенузу этого треугольника. Получим 3) Поделим полученный отрезок на 4 части. 4) Рисуем окружность единичного радиуса. 5) От начала координат отложить на оси Ох отрезок 6) Строим перпендикуляр 7) Находим ещё 3 оставшиеся вершины с помощью циркуля отлаживая получившуюся дугу окружности. Б.а.о. и их св-ва (коммут-ть, ассоц-ть, нейтральный эл-т, симметричный эл-т). Пусть G-непустое мн-во. Бинарной алгебраической операцией наз. некоторое отображение из дек. отображения f:GxG->G. Обозн.g1og2. Форма записи б.а.о. аддитивная и мультипликативная. При аддитивной ф.з. – операция сложения (g1+g2). При мультипликативной – умножение (g1*g2). Пример. R: +,*,- б.а.о.; / не явл.б.а.о. на R. N: +,*; -,/ не явл.б.а.о. на N. R*=R\{0}: / б.а.о. V3: +,-,* P(A) – мн-во всех подмн-в мн-ва А: U,∩,\. Если на мн-ве определена б.а.о. (общий знак o), то обозн. <A, o> и говорят, что композиция определяет на А алгебраическую стр-ру, или что <A, o> - алгебр.стр-ра (алгебр. с-ма). Б.а.о. на мн-ве А наз. ассоциативной, если для Замечание. Св-ва ассоц-ти и коммут-ти независимы: · на мн-ве матриц (АВ)С = А(ВС), но АВ ≠ ВА. · Z: n*k = -n-k, k*n = -k-n, (1*2)*3 = -(-1-2)-3 = 0, 1*(2*3) = -1-(-2-3) = 4. Эл-т е?A наз. нейтральным относительно б.а.о. o на А, если Замечание. Если задана мультипликативная стр-ра, то нейтр.эл-т наз. единицей, если аддитивная, то нулем. Св-во1: Если в алгебр.стр-ре есть нейтр.эл-т, то он единственный. Д-во: (от противного) Пусть ᴲе1,е2: е1 oе2 =е1, е1o е2 =е2 => е1=е2. Эл-т b?A наз. симметричным эл-ту а?A, если a o b = b o а=е. Замечание. 1)Если b сим-ный к а, то а сим-ный к b. 2)Если алгебр.стр-ра аддитивная, то сим-ный эл-т наз. противоположным, если мультипликативная – обратным. Св-во2: Пусть <A, o> ассоц. алгебр. стр-ра с нейтр.эл-том е, тогда Д-во: Пусть b1,b2 – 2 сим-ных эл-та к а. тогда (b1 o a) o b2 = e o b2 = b2 ð b1=b2 b1 o (a o b2) = b1 o e = b1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; просмотров: 260; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.84.32 (0.26 с.) |