Охлаждение и нагревание неограниченной пластины

Рассмотрим процесс охлаждения плоской стены (пластины), толщиной .

Уравнение однородной стационарной теплопроводности (9.1) для рассматриваемого случая можно записать через избыточную температуру: . (9.4)

Для решения этого уравнения необходимо иметь краевые условия.

Начальные условия.

1) , . .

Граничные условия: так как плоскость симметрии пластины проходит через , то

2) , при .

При на поверхности пластины граничные условия III-рода:

3) при . .

В соответствии с (9.2) общее решение (9.4) будет иметь вид: . (9.5)

Используя начальные и граничные условия для определения постоянных интегрирования , можно получить трансцендентное уравнение вида: , (9.6) . (9.7)

Уравнение (9.7) наиболее просто решается графически.

Из рисунка 9.3 видно, что имеется бесчисленное множество корней для каждого значения Bi. Найдём границы изменения числа Bi.

Если Bi ® ¥, то при заданном размере стенки и её материала, в этом случае a®¥; при этом температуры стенки и жидкости оказались равными ,

а корни уравнения (9.7) имеют следующие значения

; ; ; …; ,

.

На практике , это случай когда .

Если Bi ® 0, Þ a ® 0. В этом случае избыточная температура: , т.е. теплоотдачи от поверхности пластины к жидкости нет, и корни уравнения (9.7)

,

где n­­ – порядковый номер корня.

Для каждого значения 0 £ Bi £ ¥, решение дифференциального уравнения (9.4) будем искать в виде:

. (9.8)

Определив , запишем окончательное решение уравнения теплопроводности (9.4):

(9.9)

(быстросходящийся ряд Фурье)

Решение (9.9) можно представить в обобщённых переменных:

, (9.10)

где – безразмерная координата;

– число подобия Фурье (безразмерное время).

Решения (9.10) представлены в виде простых и удобных номограмм, которые могут быть двух видов. Номограммы построены для двух случаев:

– центр пластины

– поверхность пластины

Зависимость (9.10) справедлива также для цилиндра и шара.

Для решения прямой задачи определения температуры в центре либо на поверхности пластины через какой-то момент времени после её охлаждения в среде с , при заданных размерах , материале пластины l, и a находится . Поднимаем до пересечения с нужным Bi и находим относительную избыточную температуру, тогда абсолютная температура в центре будет равна:

.

В любом сечении температура находится с помощью решения (9.9). 81 Теория подобия – это теория подобных явлений. Из геометрии известно, что треугольники подобны, если их углы равны, а стороны пропорциональны. В теории подобия размерные величины – скорость, время заменяются безразмерными комплексами, т.е. числами подобия. Теория подобия рассматривает такие условия, когда результат модельных экспериментов можно с достоверностью перенести на действующие установки.

Подобие систем определяют теоремы подобия:

1) физические процессы подобные друг другу имеют одинаковую физическую природу и описываются одинаковыми по форме записи дифференциальными уравнениями;

2) (основная теорема подобия) у подобных явлений условия однозначности одинаковые, а числа подобия получаются из условия однозначности равными между собой (имеют одинаковое числовое значение);

3) решения дифференциального уравнения, выражающие сущность данного физического процесса, можно представить в виде функциональной зависимости между числами подобия

 

83) Конвективный теплообмен

Основные положения

Конвекция возможна только в текучей среде, в которой перенос теплоты связан с переносом самой среды. Конвективный теплообмен – это совместный перенос теплоты за счёт теплопроводности и конвекции.

Конвекция – это перенос теплоты при перемещении жидкости или газа в пространстве с одной температурой в пространство с другой температурой.

Если в единицу времени через единицу контрольной поверхности перпендикулярно к ней проходит масса жидкости,

, ,

где w – скорость жидкости, м/с;

r – плотность жидкости, кг/м³,

то с ней переносится плотность теплового потока конвекцией.

, ,

где h – удельная энтальпия жидкости, .

Конвекция теплоты сопровождается теплопроводностью, так как при движении жидкости или газа происходит соприкосновение отдельных частиц, имеющих различные температуры. Поэтому конвективный теплообмен описывается уравнением:

(11.1)

уравнение конвективного теплообмена.

Основное уравнением конвективного теплообмена – это уравнение теплоотдачи Ньютона-Рихмана.

, (11.2)

, .

a – количество теплоты, воспринимаемое единицей поверхности в единицу времени при разности температур равной 1 градусу.

Средний коэффициент теплоотдачи:

.

(локальное значение коэффициента теплоотдачи)

Экспериментально установлено, что коэффициент теплоотдачи a зависит от вида теплообмена и теплофизических свойств теплоносителя. В общем случае:

. (11.3)

Все реальные жидкости и газы обладают вязкостью между слоями, движущимися с различными скоростями. Между этими слоями возникает сила внутреннего трения, которая противодействует движению (направлена в сторону, противоположную движению). Согласно закону Ньютона, эта касательная сила (S или t), отнесенная к единице поверхности, действует в плоскости, ориентированной по течению прямо пропорционально изменению скорости в направлении к нормали к этой плоскости:

, (11.4)

где m – коэффициент пропорциональности – динамический коэффициент вязкости, Па×с;

n – направление, перпендикулярное направлению движения.