Прийняття рішень в умовах конфлікту

 

 

Сформулюємо завдання прийняття рішень у вигляді завдання оптимізації [23; с. 83-84]

 

(2.20)

 

На відміну від попередніх випадків, коли параметром z управляла «Природа», тут ми припускаємо, що параметром z управляє «розумний» противник, що переслідує власні цілі. Ці цілі виражаються за допомогою завдання прийняття рішення (ПР), аналогічно (2.20):

 

(2.21)

 

Отже, нехай два суб'єкти А і Б, що володіють можливістю вибору, відповідно, елементів , прагнуть до досягнення своїх цілей, представлених у вигляді (2.20), (2.11).

Розбіжність між функціоналами визначає ступінь антагонізму гравців. В окремому випадку може виявитися, що при будь-яких ; таку ситуацію, що виникає в грі двох суб'єктів, називають антагоністичною, строго конкурентною або грою з нульовою сумою [23; с. 83]. Найбільш типовий конфлікт, в якому інтереси гравців не співпадають, але і не строго протилежні.

Легко уявити собі ситуацію, коли не два, а гравців максимізують свої виграші . В цьому випадку, наприклад, для першого гравця, що вибирає рішення решта становитимуть фактор невизначеності . Якщо , то ми як і раніше говоримо про гру з нульовою сумою, хоча термін «антагоністична гра» тут уже непридатний. Далі ми будемо розглядати тільки ігри двох осіб. Отже, нехай дві сторони А і Б прагнуть до досягнення своїх цілей:

 

Обидві особи, які приймають рішення (ОПР), або обидва «гравця», мають можливість вибору х і z відповідно. Далі для визначеності будемо вважати, що т. е. – числові вектори відповідних розмірностей.

Далі ми всюди будемо вважати себе гравцем А і проводити міркування з позицій його інтересів.

У зв'язку з тим, що результат нашого вибору рішення залежить від вибору гравця Б, необхідно зробити якісь припущення про його можливу поведінку в процесі виконання завдання. Правомірність подібних припущень (Гіпотез) прямо залежить від характеру інформованості сторін про поведінку іншої сторони.

При грі з «думаючим» противником, який переслідує в процесі прийняття своїх рішень цілком визначені цілі, розумно вдаватися до інших гіпотез, для кращого відображення суті такого завдання.

Будемо розрізняти такі основні гіпотези (випадки) [23; с. 84-86].

Гіпотеза 1. Кожен із суб'єктів А і Б не має інформації про вибір, зроблений другою стороною. Додаткові гіпотези про характер поведінки другого гравця відсутні. У цьому випадку можна поступати аналогічно рішенню задачі в умовах невизначеності. Це, по суті, той же випадок, і ми можемо скористатися відомим принципом найкращого гарантованого результату. Для суб'єкта А гарантована оцінка буде дорівнює

 

(2.22)

а для суб'єкта Б

 

. (2.23)

 

Вирішуючи завдання максимізації (2.22), (2.23), ми знаходимо і вектори які реалізують відповідні гарантовані оцінки.

Приклад 2.2. Дамо графічну ілюстрацію застосування принципу гарантованого результату. Нехай і потрібно мінімізувати . У результаті ми маємо антагоністичну гру:

Будемо вважати, що є множини всіх дійсних чисел(Тут ми використовуємо очевидну обставину, що замість пошуку мінімуму функції можна шукати максимум функції . Для даного прикладу гарантована оцінка знаходиться з умови

Позначимо

. (2.24)

Таким чином, для обчислення одного значення функції при фіксованому необхідно вирішити задачу оптимізації (2.24). Отримаємо

будь-яке призводить до зменшення функції . Тепер знаходимо

 

 

що досягається при . Таким чином, ми отримаємо і при цьому . Це гарантований результат, бо при будь-якому ми будемо мати значення не гірше (тобто не більше), ніж нуль, тобто при будь-якому

На рис. 2.1, а представлені лінії постійного рівня функціоналу J (x, z) на площині (х, z).

 

 

Рис. 2.1. Принцип гарантованого результату

Джерело: [23; с. 86].

 

Згадаймо, що лінією рівня називається геометричне місце точок на площині, де . Міняючи постійну , ми будемо отримувати різні лінії рівня. Якщо функція залежить більш ніж від двох перемінних, то слід говорити не про лінії рівня, а про поверхні рівня.

На рис. 2.1б зображено залежність в тривимірному просторі, має характерний вигляд «сідла». Можна вважати, що відповідна поверхню «склеєна» з двох видів парабол:

При виборі значення ми при різних будемо завжди перебувати на параболі А (рис. 2.1, б), забезпечуючи виконання нерівності .

Гіпотеза 2. Припускаємо, що суб'єкт Б слідує принципу максиміна і вибирає з умови (2.23):

Тоді ми можемо вибирати згідно з правилом

(2.25)

де – гарантує рішення другого гравця. Позначимо рішення завдання (2.25) через . При цьому виявляється, що

(2.26)

де – наша гарантована оцінка, отримувана за принципом максимина.

Гіпотеза 3. Тепер ми можемо припустити, що суб'єкт міркує точно так само, як і в попередньому випадку, тобто використовує не стратегію , а аналогічну стратегію . Тому ми можемо це врахувати і вибирати оптимальне рішення з урахуванням вже цієї гіпотези:

Гіпотеза 4. Можливий інший вид гіпотез: ми за умовами гри знаємо перший хід суб'єкта Б (він зобов'язаний повідомити його нам). Тоді наша поведінка буде визначатися стратегією у вигляді функції Ми можемо її визначити в результаті рішення задачі оптимізації

(2.27)

Умова (2.27) дозволяє для кожного фіксованого z визначити шукане значення , тобто задати функцію .

Для цього випадку ми також можемо визначити гарантований результат . Результат відрізнятиметься від значення , знайденого відповідно до гіпотези 1. Саме, у всіх випадках будемо мати

(2.28)

Таким чином, прийняття гіпотези 4 знову дозволяє поліпшити результат, отриманий за принципом максиміна гарантованого результату.

Гіпотеза 5. Нехай Б знає наш перший хід. У цьому випадку природно припустити, що він буде дотримуватися стратегії , яка будується в результаті рішення оптимізаційної задачі

(2.29)

Прийняття цих припущень, тобто припущення про те, що ми повідомили свій хід суб'єкту Б, а також допущення про використання Б стратегії , дозволяє нам так впливати на вибір суб'єкта Б, щоб він у максимальному ступені відповідав нашим цілям. Саме, ми можемо вибирати х з умови

Якщо максимум у співвідношенні (2.29) досягається не в одній точці , а на деякій множині , то наш гарантований результат визначається з умови:

Загальним для всіх розглянутих випадків є припущення, що обидві сторони, що беруть участь в грі, не тільки точно знають свої цілі, але й повністю інформовані про цільові функції «супротивника» або партнера по грі. Для реальних конфліктних ситуацій це не завжди виконується. Набагато частіше ми не знаємо точно цілей наших партнерів, які в свою чергу, мають обмежену інформацію про наших наміри. Крім того, необхідно враховувати і можливу свідому дезінформацію, «блеф» з боку кожного з гравців. Та й гравців може бути не два, а більше.