Рекурсивні фільтри з нескінченною імпульсною характеристикою

На відміну від КІХ НІХ-фільтри мають традиційні аналогові еквіваленти (фільтри Баттерворта, Чебишева, еліптичний і Бесселя) і можуть бути проаналізовані і синтезовані з використанням традиційних методів проектування фільтрів. НІХ-фільтри одержали таку назву, тому що їхні імпульсні характеристики розтягнуті на нескінченному часовому інтервалі. Це визначається тим, що дані фільтри є рекурсивними, тобто використовують зворотний зв'язок.

Хоча НІХ-фільтри можуть бути реалізовані з меншою, ніж КІХ-фільтри, кількістю обчислень, НІХ-фільтри не можуть мати таких характеристик, якими володіють КІХ-фільтри. Більш того, НІХ-фільтр не має лінійної фазової характеристики. Але обчислювальні переваги НІХ-фільтра губляться, коли вихідний сигнал фільтра піддається децимації, оскільки в цьому випадку всякий раз приходиться обчислювати заново значення вихідної величини.

Як правило НІХ-фільтри реалізуються за допомогою ланок другого порядку, що називаються біквадратними фільтрами, тому що описуються біквадратними рівняннями в z-області. Фільтри високого порядку проектують, використовуючи каскадування біквадратних ланок. Наприклад, фільтр шостого порядку вимагає трьох біквадратних ланок.

Характеристики рекурсивних фільтрів з нескінченною імпульсною характеристикою (НІХ):

- мають зворотний зв'язок (рекурсія);

- імпульсна характеристика має нескінченну тривалість;

- потенційно нестабільні;

- нелінійна фазочастотна характеристика;

- більш ефективні, ніж КІХ-фільтри;

- немає обчислювальних переваг при децимації по виходу;

- звичайно проектуються за характеристикою аналогового фільтра;

- як правило реалізуються каскадним з'єднанням ланок другого порядку (біквадратних фільтрів).

Загальне рівняння цифрового фільтра описує узагальнену передатну функцію H(z), що містить поліноми у чисельнику і знаменнику.

Структура біквадратного НІХ-фільтра. Нулі формуються коефіцієнтами прямого зв'язку b₀, b₁, b₂; а полюси (порядок) визначаються коефіцієнтами зворотного зв'язку і :

Хоча існує можливість створення безпосередньо за цим рівнянням НІХ-фільтра більш високого порядку (так звана пряма реалізація), але накопичення помилок квантування (через арифметику з фіксованою точкою і кінцевою довжиною слова) можуть викликати нестійкість роботи фільтра. З цієї причини практична реалізація виконується, як правило, каскадним включенням декількох біквадратних ланок з відповідними коефіцієнтами замість прямої форми реалізації.

Дані при обчисленні біквадратних фільтрів можуть масштабуватися роздільно, а потім біквадратні ланки каскадуються для мінімізації помилок квантування коефіцієнтів і помилок рекурсивного накопичення. Каскадні біквадратні фільтри працюють більш повільно, ніж їхні еквіваленти прямої форми реалізації, але вони, як правило, стійкі й у них мінімізуються ефекти, зв'язані з арифметичними помилками кінцевої розрядності даних.

Перша пряма форма біквадратної ланки вимагає використання чотирьох регістрів (рис. 9.7) і одного суматора.

Рисунок 9.7. — Апаратна реалізація НІХ-фільтра другого порядку
біквадратного (форма 1).

 

Ця конфігурація може бути замінена еквівалентною схемою, представленою на рис. 9.8, що називається другою прямою формою реалізації і вимагає використання тільки двох регістрів і двох додавачів. Можна показати, що рівняння, що описують біквадратний НІХ-фільтр другої прямої форми реалізації, такі ж, як і рівняння першої прямої форми реалізації. Як і у випадку КІХ-фільтра, система позначень при зображенні НІХ-фільтра часто спрощується.

Рисунок 9.8. — Апаратна форма реалізації біквадратного НІХ-фільтру
другого порядку (форма 2).

 

В цьому випадку необхідно виконати такі умови:

§ приводиться до такого ж рівняння, як для першої прямої форми;

§ ;

§ вимагає тільки 2 елементи затримки (регістра).

Популярний метод проектування НІХ-фільтра зводиться до того, що спочатку проектується еквівалентний аналоговий фільтр, а потім функція передачі перетвориться за допомогою математичних перетворень в z-область, . Проектування фільтрів більш високих порядків виконується каскадним включенням біквадратних ланок, що гарантує не тільки стійкість системи, але і задані динамічні властивості (утримання перерегулювання, коливальності за рахунок часу регулювання).

Методи проектування рекурсивних фільтрів

§ Метод інваріантості імпульсної характеристики:

¨ починається з визначення для аналогового фільтра;

¨ узяття зворотного перетворення Лапласа для одержання імпульсної характеристики;

¨ Одержання z-перетворення з дискретної імпульсної характеристики;

¨ z-перетворення визначає коефіцієнти фільтра;

¨ Повинний бути врахований ефект накладення спектрів.

§ Метод білінійного перетворення:

¨ інший метод для перетворення у ;

¨ характеристики визначаються диференціальним рівнянням, що описує аналогову систему;

¨ не важливий ефект накладення спектра.

§ Метод погодженого z-перетворення:

¨ відображає у для фільтрів і з полюсами, і з нулями.

§ Методи САПР:

¨ алгоритм Флетчера-Пауела;

¨ здійснюються каскадуванням біквадратних ланок.

Оцінка швидкості обробки даних при реалізації НІХ фільтрів:

§ визначення кількості біквадратних ланок, необхідних для реалізації бажаної частотної характеристики;

§ множення цієї кількості на час виконання операції однією біквадратною ланкою;

§ результат (плюс додаткові операції) визначає мінімально припустимий період дискретизації для роботи в реальному масштабі часу.

Резюме: порівняння КІХ- і НІХ-фільтрів. Вибір між КІХ- і НІХ-фільтрами може бути свого роду змаганням у проектуванні, але кілька основних керівних принципів можна визначити. Як правило, НІХ-фільтри більш ефективні, чим КІХ-фільтри, тому що вони вимагають меншої кількості пам'яті і меншої кількості операцій множення з накопиченням. НІХ-фільтри можуть бути розроблені, ґрунтуючись на попередньому досвіді проектування аналогових фільтрів. НІХ-фільтри можуть приносити проблеми нестійкості, але цього не відбувається, якщо синтезовані фільтри високого порядку реалізуються як системи, що складаються з послідовного включення каскадів другого порядку.

З іншого боку, КІХ-фільтри вимагають більшої кількості ланок і, відповідно, операцій множення з накопиченням для реалізації частотної характеристики з заданою частотою зрізу, але при цьому мають лінійну фазову характеристику. КІХ-фільтри працюють на кінцевому часовому інтервалі даних, тому, якщо частина даних зіпсована (наприклад, у результаті збоїв у роботі АЦП), КІХ-фільтр буде "дзенькотіти" тільки на часовому інтервалі, що відповідає N–1 відлікам. НІХ-фільтр, через наявність зворотного зв'язку, буде "дзенькотіти" значно більш тривалий термін часу.

 

НІХ-фільтри	КІХ-фільтри
Більш ефективні Є аналоговий еквівалент Можуть бути нестабільними Нелінійна фазова характеристика Більше "дзенькіт" при наявності помилкових сигналів Доступні засоби САПР Децимація не впливає на ефективність	Менш ефективні Немає аналогового еквівалента Завжди стабільні Лінійна фазова характеристика Менше "дзенькіт" при наявності помилкових сигналів Доступні засоби САПР Децимація збільшує ефективність

Рисунок 9.9. — Порівняльний аналіз КІХ та НІХ фільтрів

 

Якщо необхідні фільтри з крутим спадом і відчувається дефіцит у часі, відведеному для обробки, найкращим вибором є еліптичний НІХ-фільтр. Якщо число операцій множення з накопиченням не є надмірним і потрібна лінійна фаза, то повинний бути обраний КІХ-фільтр. Якісний порівняльний аналіз НІХ і КІХ фільтрів наведений на рис. 9.9.