Интервальные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал

Рассмотренные точечные оценки параметров распределения дают оценку в виде числа, наиболее близкого к значению неизвестного параметра. Такие оценки используют обычно при большом числе измерений. Чем меньше объем выборки, тем легче допустить ошибку при выборе параметра. Для практики важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, называемый доверительным, между границами которого с заданной доверительной вероятностью

, (2.41)

где - уровень значимости; - нижняя и верхняя границы интервала,

находится истинное значение оцениваемого параметра.

1.В общем случае, при любом законе распределения СВ, доверительные интервалы можно определять, на основе неравенства Чебышева. Оно определяет вероятность того, что результат измерения не отличается от среднего значения больше чем на половину доверительного интервала

, (2.42)

 

где оценка СКО распределения; - положительное число.

Принимая доверительную вероятность Р из неравенства можно определить значение t (табл.2.4).

 

Таблица 2.4

Таблица вероятностей распределения Чебышева

 

P	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,85	0,89	0,90	0,92	0,95	0,96	0,98
t	1,2	1,3	1,42	1,6	1,84	2,21	2,6	3,0	3,16	3,52	4,47	5,0	7,07

 

Полученные с помощью неравенства Чебышева интервалы оказываются слишком широкими для практики. Так, доверительной вероятности 0,9 для многих законов распределений соответствует доверительный интервал 1,6s, а по неравенству Чебышева 3,16s. В связи с этим оно не получило широкого распространения.

2. Для нормально распределенной СВ и при большом количестве наблюдений (измерений), интервальная оценка определяется следующим образом:

- определяется точечная оценка МО и СКО по приведенным выше формулам;

- выбирается доверительная вероятность Р из рекомендуемого ряда значений 0,90; 0,95; 0,99;

- находятся верхняя и нижняя границы доверительного интервала по уравнениям

, , (2.43)

где n – количество измеренных значений(объем выборки); - аргумент функции Лапласа , отвечающей вероятности Р/2. Половина длины доверительного интервала , называется доверительной границей погрешности результата измерений.

Полученный доверительный интервал удовлетворяет условию

. (2.44)

3. Для нормально распределенной СВ, но при малом количестве наблюдений (измерений), что обычно бывает на практике, верхняя и нижняя границы доверительного интервала определяются по уравнениям

, (2.45)

А половина длины доверительного интервала равна

,

где -коэффициент Стьюдента, рассчитанный для различных значений доверительной вероятности и числа измерений, табулирован.

4. В тех случаях, когда распределение СВ не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной. Распределение Стьюдента применяют при числе измерений n < 30, поскольку уже при n = 20¸30 оно переходит в нормальное. Результат измерения записывается в виде ; , где – конкретное значение доверительной вероятности.

Множитель при большом числе измерений равен квантильному множителю . При малом он равен коэффициенту Стьюдента.

Полученный результат измерения не является одним конкретным числом, а представляет собой интервал, внутри которого с некоторой вероятностью находится истинное значение измеряемой величины. Выделение середины интервала не означает, что истинное значение ближе к нему, чем к остальным точкам интервала. Оно может быть в любом месте интервала, а с вероятностью даже вне его.

Пример 2.1. Произведено 50 измерений постоянного сопротивления. Определить доверительный интервал для математического ожидания значения постоянного сопротивления, если закон распределения нормальный с параметрами , при доверительной вероятности .

Решение. При нормальном законе распределения доверительный интервал определяется по формуле (2.44).

В соответствии с заданием доверительная вероятность и, следовательно, . Отсюда . Из таблицы П1 находим, что . Следовательно, доверительный интервал запишется в виде

 

.

 

Окончательно .

Данный способ нахождения доверительных интервалов справедлив для достаточно большого числа наблюдений , когда . Вычисляемая оценка является лишь приближением к истинному значению .

Доверительный интервал при заданной вероятности тем менее надежен, чем меньше число наблюдений.

 

Пример 2.2. Определение удельных магнитных потерь для различных образцов одной партии электротехнической стали марки 2212 дало следующие результаты: 1,21; 1,17; 1,18;1,13;1,19;1,14;1,20 и 1,18 Вт/кг. Считая, что систематическая погрешность отсутствует, а случайная распределена по нормальному закону, требуется определить доверительный интервал при значениях доверительной вероятности 0,9 и 0,95. Для решения задачи использовать формулу Лапласа и распределение Стьюдента.

 

Решение. По формулам (2.34) и (2.37) находим оценки среднего арифметического значения и СКО результатов измерений. Они соответственно равны 1,18 и 0,0278 Вт/кг. Считая, что оценка СКО равна самому отклонению, находим:

 

 

 

Отсюда, используя значения функции Лапласа, приведенные в таблице П 1, определяем, что . Для коэффициент .Доверительные интервалы, соответствующие р = 0,9 и 0,95 равны 1,18 ± 0,016 и 1,18 ± 0,019 Вт/кг.

В том случае, когда нет оснований считать, что СКО и его оценка равны, доверительный интервал определяется на основе распределения Стьюдента:

 

 

 

По табл. П 2 находим, что t_0,9 = 1,9 и t_0,95 = 2,37. Отсюда доверительные интервалы соответственно равны 1,18 ± 0,019 и 1,18 ± 0,023 Вт/кг.