Однокроковий мнк. Умови гаусса-маркова.

У випадку класичної регресійної моделі , при виконанні умов (Гаусса-Маркова), МНК-оцінок є найкращим серед класу всіх лінійних незміщених оцінників.

Функція з лінійним параметром с, який являє собою вектор-стовпець розмірністю (), який складається із відомих констант. Нехай є можливою оцінкою , де . Дана оцінка буде незміщенною, якщо , а її дисперсія

Нехай - інша незміщена оцінка функції , так що:

Отже, буде дорівнювати тільки тоді, коли , тобто , тоді . Так, як , то . Отже , де

- симетрична ідемпотентна додатна напіввизначена матриця, для якої справедлива рівність .

. Оцінка функції , отримана методом найменших квадратів, має мінімально можливі дисперсії в класі лінійних незміщених оцінок. Нехай . Тоді нерівність буде мати вигляд , .

Це означає, що оцінки будуть найкращими лінійними незміщеними оцінками, тобто належатимуть класу BLUE.

Дисперсійно-коваріаційна матриця похибок в узагальненій регресійній моделі.

Застосування теорії матриць допомагає не тільки знайти дисперсії параметрів b, а й встановити коваріації між двома попарними їхніми значеннями, тобто між та ; .

За означення дисперсійно-коваріаційна матриця для b є: , що можна записати:

Отже: , де - дисперсія випадкової величини ;

- зворотна матриця до матриці .

Прогноз при автокореляції залишків.

В економетрічних дослідженях часто виникають ситуації, коли дисперсія відхилень - стала, але спостерігається коваріація відхилень. Таке явище називають автокореляцією відхилень.

Перевірка наявності автокореляції.

Критерій Дарбіна - Уотсона.

Для перевірки наявності автокореляції відхилень обчислюють статистику d за формулою:

(7.1)

де l_t - величина відхилень в період t, n - кількість спостережень.

Ця статистика може приймати будь-яке значення з інтервату (0,4).

Між статистикою d і коефіцієнтом автокореляції існує приблизна залежність

(7.2)

При відсутності автокореляції r = 0 і d статистика приймає значення близькє до 2.

При достатньо великій кількості спостережень, можна вважати, що використовується рівність

D = 2(1 - r)

Якщо r Є (0,1), то d є (0,2) і автокореляція додатня.

Для статистики d табульовані критичні межі: нижня d₁, та верхня d₂. Критичні межі статистики d дозволяють з надійністю Р = 0.95 або P = 0.99, робити висновок про наявність або відсутність автокореляції першого порядку.

Якщо 0 < d < d_і,то відхилення мають автокореляцію;

Якщо d>d₂ то приймається гіпотеза про відсутність автокореляції відхилень

Якщо d₁<d<d₂,то висновку робити не можна, а необхідно подальші дослідження, беручи більшу кількість спостережень.

При наявності автокореляції відхилень необхідно з'ясувати причини її появи.

Для оцінювання параметрів економетричної моделі, з автокорельованими відхиленнями існує декілька методів: загальний метод найменших квадратів для випадку автокореляції і Ейткена), метод перетворення вихідної інформації та наближені методи Дарбіна і Кочрена – Орката.

Метод перетворення вихідної інформації здійснюється у випадку автокореляції відхилень першого порядку за таким алгоритмом:

Крок 1. Велечину р, яка характеризує коваріацію відхилень (зв'язок між послідовними елементами ряду відхилень), знаходять за формулою:

(7.3)

де l – величина відхилення у період t, n – кількість спостережень, m – кількість факторів.

Крок 2. Будують матрицю перетворень розміром n*n вигляду:

(7.4)

Ця матриця дозволяє застосувати метод найменших квадратів до перетворення вихідних даних:

де x^j_k – значення катої компоненти фактора Хj.

Крок 3. Знаходять оцінки параметрів моделі за формулою

(7.5)

Метод Ейткена при наявності гетероскедастичності.

При наявності гетероскедастичності для оцінки параметрів моделі використовують метод Ейткена.

Алгоритм розрахунку за методом Ейткена:

1) Визначаємо матрицю S:

де

2) Обчислюємо обернену матрицю .

3) Перемножуємо матрицю Х` на , де Х` - матриця, транспонована до матриці незалежних змінних X.

4) Знаходимо добуток .

5) Обчислюємо обернену матрицю та матрицю .

6) Знаходимо матрицю , елементи якої і будуть коефіцієнтами лінійного рівняння.

Способи виявлення гетероскедастичності залишків