В треугольнике abc угол a больше угла b, а угол b больше угла C. К какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в него окружности.

Дано: DABC, ÐA > ÐB >ÐC, O –центр вписанной в DABC окружности

Найти: к какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в него окружности

Решение:

Поскольку O – центр вписанной окружности, то OA, OB и OC – биссектрисы углов A, B и C соответственно.

Т.к. ÐA > ÐB, то ÐA > ÐB , а т.к. в треугольнике против большего угла лежит большая сторона .

Аналогично (из ). Таким образом, центр вписанной в треугольник ABC окружности ближе всего расположен к вершине A.

 

№15.

Дан прямой угол. Найдите геометрическое место середин всех отрезков одной и той же длины с концами на сторонах этого угла.

Дано: - прямоугольный, , , ,

Найти: ГМТ

Решение.

- прямоугольные, тогда , значит, точки лежат на дуге окружности с центром в точке С и

Ответ: точки лежат на окружности с центром в точке С и

 

Вариант 14.

№ 13.

В прямоугольном треугольнике ABC (ÐC – прямой) проведена высота CD, а в треугольнике ACD – биссектриса CE. Докажите, что треугольник BCE равнобедренный.

Дано: DABC, ÐC = 90°, CD – высота DABC, CE – биссектриса DACD

Доказать: DBCE – равнобедренный.

Доказательство.

Так как CE – биссектриса ÐACD, то ÐACE = ÐECD. ÐBCE = ÐACB - ÐACE = 90° -

-ÐECD, ÐBEC = 180° - ÐADC - ÐECD = 90°- -ÐECD Þ ÐBCE = ÐBEC Þ DBCE – равнобедренный.

№ 14.

В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой одного из углов трапеции. Определите, в каком отношении диагонали трапеции делятся точкой пересечения.

Дано: ABCD – равнобокая трапеция AB = CD, AC ^ CD, AC Ç BD = O, AC –биссектриса ÐA

Найти:

Решение.

Так как трапеция – равнобокая и АС – биссектриса , то ÐBAC = ÐCAD = ÐBDC = ÐBDA Þ ÐCAD = 90° - 2ÐCAD Þ ÐCAD = 30° Þ , а так как OD – биссектриса DACD, то

Ответ:

 

№ 15

Треугольник ABC – равносторонний со стороной, равной a. На расстоянии a от вершины A взята точка D. Найдите угол BDC.

Дано: DABC – равносторонний, AB = = BC = AC = AD = a

Найти:

Решение.

Построим окружность с центром в точке A и радиусом, равным a. Тогда точки B, C и D лежат на этой окружности, а градусная мера меньшей дуги BC равна 60° (поскольку ÐBAC – центральный для этой окружности и равен 60°). Рассмотрим 2 случая:

1) пусть D лежит на большей дуге BC окружности (на чертеже эта точка обозначена как D₁). Тогда ÐBDC – вписанный и опирается на меньшую дугу BC и, потому, равен половине её градусной меры, то есть 30°;

2) пусть D лежит на меньшей дуге BC окружности (на чертеже эта точка обозначена как D₂). Тогда ÐBDC – вписанный и опирается на большую дугу BC и, потому, равен половине её градусной меры, то есть 150°. Примечание: Если точка D совпадает с одной из точек B или C, что вполне возможно согласно условию задачи, то ÐBDC = 0°

Ответ: 30° или 150°

 

 

Вариант 15

№ 13.

В треугольнике ABC биссектриса AE равна отрезку EC. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что AC = 2AB.

Дано: DABC, AE – биссектриса ÐBAC, AE = EC, AC = 2AB

Найти: ÐA, ÐC, ÐB

Решение.

Так как AE – биссектриса ÐA, то ÐBAE = ÐCAE. Так как AE = EC, то DAEC – равнобедренный Þ ÐBAE = ÐCAE = ÐC Þ ÐA = 2ÐC. Пусть M – середина AC. Тогда AB = AM = MC, поскольку AC = 2AB, Þ EM – медиана DAEC, а так как DAEC равнобедренный, то EM – высота DAEC Þ ÐAME = 90°. Так как по условию AC=2AB и М – середина АС, то AB = AM=МС, ÐBAE = ÐCAE, AE – общая сторона, то DABE = DAME Þ ÐB = ÐAME = 90°. ÐA + ÐB + ÐC = 180°, а так как ÐB = 90°, ÐA = 2ÐC, то 3ÐC = 90° Þ ÐC = 30° Þ ÐA = 60°.

Ответ: ÐA = 60°, ÐC = 30°, ÐB = 90°.

№ 14.

В равнобокую трапецию с острым углом 30° вписана окружность. Найдите отношение длины окружности к периметру трапеции.

Дано: ABCD – равнобокая трапеция с основаниями AD и BC, ÐA = ÐD = = 30°, Окр.(О;r) - вписанная

Найти:

Решение.

Пусть BH – высота трапеции. Тогда BH = 2r, где r – радиус окружности. Поскольку трапеция является описанной около окружности, то AB+CD = BC + AD, а так как AB = CD (трапеция равнобокая), то AB = .

Так как DABH – прямоугольный, а ÐA = 30°, то BH = . , Þ Þ .

Ответ:

№ 15.

Внутри треугольника ABC взята точка D такая, что ÐABD = ÐACD = 45°. Докажите, что отрезки AD и BC перпендикулярны и равны, если угол BAC равен 45°.

 

Дано: DABC, ÐA = 45°, D DABC, ÐABD = ÐACD = 45°

Доказать: AD = BC, AD BC

Доказательство.

Пусть BD Ç AC = B₁, CD Ç AB = C₁, AD Ç BC = A₁. Тогда BB₁ ^ AC, поскольку ÐAB₁B = 180° - ÐA - ÐABD = 90°, Þ BB₁ – высота DABC. Аналогично CC₁ – высота DABC Þ D – точка пересечения высот DABC Þ AA₁ – высота DABC Þ AD ^ BC. Так как DABB₁ – равнобедренный, то AB₁ = BB₁. Также DB₁DC – равнобедренный, поэтому B₁D = B₁C. Тогда треугольники AB₁D и BB₁C равны по двум катетам Þ AD = BC, ч.т.д..

 

Вариант 16.

№13.

В трапеции ABCD диагонали АС и BD перпендикулярны. На большем основании AD выбрана точка М так, что ВМ=MD=3 см. Найдите длину средней линии трапеции.

Дано: ABCD – трапеция, , ВМ=MD=3 см.

Найти:

Решение.

I способ

Т.к. ВМ=MD, то - равнобедренный

как накрест лежащие при и секущей BD.

BN –биссектриса и высота - равнобедренный и ВК=ВС , KN=NC

как накрест лежащие при и секущей АD,

, т.е.

Ответ:

II способ

Дополнительное построение:

LBCA – параллелограмм ()

. - равнобедренный . Также , - равнобедренный длина ВМ численно равна длине средней линии трапеции и ВМ=3см

Ответ:

III способ

Т.к. ВМ=MD, то - равнобедренный

как накрест лежащие при и секущей BD.

BН –биссектриса и высота - равнобедренный и ВК=ВС , ВС=ВО

Пусть ВС=ВО=х, тогда ОМ=3-х

( как накрест лежащие при и секущей АС), значит, - равнобедренный АМ=ОМ=3-х

Ответ:

 

 

№14.