Часть 1. Анализ объекта управления.

1. Постановка задачи________________________________________________________3

2. Математические модели объекта управления

2.1. Уравнения в переменных состояния_____________________________________4

2.2. Передаточная функция________________________________________________5

2.3. Весовая функция_____________________________________________________7

2.4. Уравнение вход-выход________________________________________________9

2.5. Частотные характеристики____________________________________________10

3. Свойства системы

3.1. Устойчивость_______________________________________________________12

3.2. Анализ минимальнофазовости объекта_________________________________13

3.3. Исследование управляемости и наблюдаемости_________________________14

3.4. Анализ установившихся режимов______________________________________17

3.5 Окончательный выбор параметров и его обоснование____________________18

4. Процессы в объекте управления

4.1. Импульсное воздействие_____________________________________________21

4.2. Ступенчатое воздействие_____________________________________________24

4.3. Гармоническое воздействие__________________________________________28

Часть 2. Синтез законов управления для систем с обратной связью.

1. Структурная схема системы с регулятором__________________________________31

2. Настройка контура управления____________________________________________32

3. Настройка контура оценивания____________________________________________35

4. Завершение построения системы__________________________________________38

5. Исследование системы при изменении параметров системы___________________40

6. Вывод_________________________________________________________________48

Приложение.

М-файлы для MatLab________________________________________________________49

Корневой годограф__________________________________________________________52

 

 

Часть 1. Анализ объекта управления.

Постановка задачи

 

В данной работе рассматривается модель развития многоотраслевой экономики В.В. Леонтьева в частном случае для двух отраслей.

 

 

 

 

k

1-k

 

 

Выбранные данные для модели:

 

 

Математические модели объекта управления

Уравнение в переменных состояния

Вектор состояния представим в следующем виде:

 

Тогда система линейных дифференциальных уравнений, описывающих систему, выглядит

 

 

соответственно запишем следующие матрицы и векторы:

 

Передаточная функция

Так как задача была уже ранее описана в переменных состояний, то сделаем переход по уже имеющейся математической формуле:

Передаточная функция, вычисленная при помощи символьной алгебры в MatLab по той же формуле, которая совпадает с найденной аналитически (М-файл №1 в приложении):

 

H = (k*(10*k1 + a2*k2 + k1*p))/(p*(p^2 + 110*p - a1*a2 + 1000)) - ((k - 1)*(100*k2 + a1*k1 + k2*p))/(p*(p^2 + 110*p - a1*a2 + 1000))

Очевидно из блок-схемы, что две другие передаточные функции, которые входят в состав уже имеющийся, могут быть представлены в виде:

 

 

 

 

 

Очевидно, выполняется равенство, которое следует из блок-схемы и структурных свойств систем управления:

 

 

Соответственно передаточную функцию можно определить двумя способами: по блок схеме, исходя из дифференциальных уравнений, связывающих информационные потоки, и свойств систем управления, а также «в лоб» по уже имеющимся переменным состояния.

 

 

Весовая функция

Весовая функция определяется просто: как обратное преобразование Лапласа, от уже найденной передаточной функции, или как некоторое линейное преобразование от также заранее найденных переменных состояния (однако здесь требуется вычисление матричной экспоненты):

 

 

Я воспользуюсь при аналитическом решении данной задачи первым способом и буду искать обратное преобразование Лапласа от передаточной функции. Для упрощения введу некоторые обозначения - это коэффициенты числителя и два корня квадратного уравнения знаменателя, взятые с обратными знаками:

 

Тогда передаточная функция примет более простой вид, который можно с легкостью разложить по элементарным дробям:

 

 

Для которой, обратное преобразование Лапласа можно провести с помощью таблицы:

 

И задача сводится к определению этих коэффициентов, которые легко находятся после приведения правой части формулы для передаточной функции к общему знаменателю и приравниванию коэффициентов перед р. Составляем систему алгебраических уравнений:

 

 

Решая систему, получаем соответственно следующие значения коэффициентов:

 

 

 

Из соображений компактности и читабельности формулы не будем, подставлять значения коэффициентов, а будем считать их константами, которые определяются значениями коэффициентов перекрестных связей и коэффициента усиления.

 

Результат, который получается при использовании символьной алгебры MatLab (обратное преобразование Лапласа, в случае с вычислением через переменные состояния ответ получается слишком некомпактным, поэтому здесь не приведен):

h =

((cosh(t*(a1*a2 + 2025)^(1/2)) + (sinh(t*(a1*a2 + 2025)^(1/2))*((10000*k2 + 110*a1*k1 + 100*k*k1 - 10000*k*k2 + a1*a2*k2 - 110*a1*k*k1 + 110*a2*k*k2 + a1*a2*k*k1 - a1*a2*k*k2)/(100*k2 + a1*k1 + 10*k*k1 - 100*k*k2 - a1*k*k1 + a2*k*k2) - 55))/(a1*a2 + 2025)^(1/2))*(100*k2 + a1*k1 + 10*k*k1 - 100*k*k2 - a1*k*k1 + a2*k*k2))/(exp(55*t)*(a1*a2 - 1000)) - (100*k2 + a1*k1 + 10*k*k1 - 100*k*k2 - a1*k*k1 + a2*k*k2)/(a1*a2 - 1000)

В данном случае достаточно сложно сравнивать полученные результаты, так как в решении MatLab используются гиперболические функции. Поэтому я сделал проверку, подставив определенные численные значения (ненулевые, чтобы исключить случаи «зануления» частей уравнения) и сравнив их (М-файл №2 в приложении):

h1 = 0.0217

h = 0.0217

hm= 0.0217

 

Где h1 – ответ, полученный аналитически

h – ответ, полученный при обратном преобразовании Лапласа

hm – ответ, полученный при вычислении через переменные состояния

Что и следовало ожидать, ответы совпали, значит можно с определенной долей вероятности говорить о верности аналитического решения.

 

 

Уравнение вход-выход

Обозначим числитель и знаменатель передаточной функции согласно формуле:

 

Тогда уравнение вход-выход запишется в следующем виде, если вместо переменной р подставить оператор дифференцирования по времени:

 

 

 

 

 

Частотные характеристики

Для того чтобы найти частотные характеристики системы можно воспользоваться любой из ниже указанных формул, в зависимости от того, что уже известно передаточная функция, весовая функция, уравнение вход-выход или система уже описана в переменных состояния:

Лучше всего пойти самым простым способом и путем заменой переменной в передаточной функции найти искомую функцию, которую требуется представить в следующем виде:

 

 

Для простоты нахождения модуля и аргумента искомой функции будем рассматривать отдельно модули и аргументы числителя и знаменателя:

 

 

 

Для символьного решения посредством MatLab ограничимся вычислением частотных характеристик через переменные состояния, чтобы операции не сводились к простому переименованию переменных. По причине того, что действительные и мнимые части в символьной алгебре MatLab выделяются через сопряженные символьные числа, полученный ответ громоздок и не информативен, поэтому как и в предыдущем подразделе проведем только проверку между аналитическим и символьным расчетом в MatLab, при фиксированных значениях параметров (М-файл №3 в приложении):

 

H =- (k*(10*k1 + a2*k2 + k1*w*i))/(w*(w^2*i + 110*w + a1*a2*i - 1000*i)) + ((k - 1)*(100*k2 + a1*k1 + k2*w*i))/(w*(w^2*i + 110*w + a1*a2*i - 1000*i))

 

modh = 0.0107

modh1 = 0.0107

argh = -1.7168

argh1 = -1.7168

Ответы совпали, значит, аналитические вычисления верны.

 

 

Свойства системы

Устойчивость

Найдем собственные числа матрицы А (очевидно это корни знаменателя передаточной функции)

 

 

Отсюда видим, что имеется 3 собственных числа, из которых одно нулевое, а 2 других зависят от перекрестных связей

Для того, чтобы удовлетворить условию Стодолы, которое является в нашем случае не только необходимым условием, но и достаточным, потребуем следующее:

 

 

1.

 

2.

3.

 

Корневой годограф (см. Приложение).