Чисельне інтегрування. Методи лівих, правих та середніх прямокутників. Методи трапецій та парабол.

Метод прямокутників.

Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтеграла як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою h= xi=xi+1-xi), отриманих розділень відрізка[a,b] на N рівних частин, до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право, то отримаємо формулу лівих прямокутників:
In= f(x)dx» Si=h[f(x0)+f(x1)+...+f(xn-1)]= f(xi);
якщо ж розділити на N прямокутників справа на ліво, то отримаємо формулу правих прямокутників:

Iпр= f(x)dx»h[f(xn)+...+f(x1)]= f(xi).

 

 

Метод трапецій.

Суть методу трапеції, полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково- лінійною функцією j(x), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.
Обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження сум площ S_i прямокутних трапецій N.
Площа кожної такої трапеції визначається як:
S_i=h (f(x_i)+f(x_i+1)).

Отже,формулатрапеції:
I= » S_i=h( f(x₀)+f(x₁)+f(x₂)+...+f(x_n-1)+ f(x_N)= = [ (f(x₀)+f(x_n))+ f(x_i)].
Графічна модель
Похибка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як
Де М₂ –максимальне значення другої похідної.f (x) при h- крок обчислень.

Рис.1.3.1.

Метод парабол.

Цей метод також використано у курсовій роботі, близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування [а, b] на множину відрізків (N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку [Xi, Xi+2] підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою j(x), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій Si: I= f(x)dx» Si [1].

 

Рисунок 1.3.2.

Графічна модель.
Площа кожної такої трапеції визначається за формулою Сімпсона:
Si= [f(xi)+4f( xi+1)+f(xi+2)], тобто
(y₀+4y₁+y₂),
(y₂+4y₃+y₄),
(y₄+4y₅+y₆),
.......................
(y_2n-2+4y_2n-1+y_2n),
Тоді чисельне значення визначеного інтеграла на відрізку [a,b] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто [y₀+y_2n+4(y₁+...+y_2n-1)+2(y₂+...+y_2n-2)],
або
[y₀+y_2n+4 y_2i-1+2 y_2i],(1.8)
де h =(b-a)/2N.
Похибка обчислення інтеграла за формулою Сімпсона оцінюється як

де М₄ –максимальне значення четвертої похідної. f(x) при , h- крок обчислень.

 

 

Використання системи Math Cad для розв’язання технічних завдань. Основні особливості та методи роботи із системою.

MathCAD працює з документами. З погляду користувача, документ - це чистий аркуш паперу, на якому можна розміщати блоки трьох основних типів: математичні вирази, текстові фрагменти і графічні області.

Розташування нетекстових блоків у документі має принципове значення – зліва направо і зверху вниз.

Математичні вирази.

До основних елементів математичних виразів MathCAD відносяться типи даних, оператори, функції і керуючі структури.

Оператори - елементи MathCAD, за допомогою яких можна створювати математичні вирази. До них, наприклад, відносяться символи арифметичних операцій, знаки обчислення сум, добутків, похідної, інтегралу і т.д.

Оператор визначає:

1. дію, що повинна виконуватися при наявності тих чи інших значень операндів;

2. скільки, де і які операнди повинні бути введені в оператор.

Операнд – число чи вираз, на яке діє оператор. Наприклад, у виразі 5! + 3 число 3 і вираз 5! – операнди оператору + (плюс), а число 5 операнд оператору факторіал (!). Після вказівки операндів оператори стають блоками, що виконуються у документі. У Додатку 2 даного посібника наведено список операторів, що найбільш часто використовуються.

Типи даних.

До типів даних відносяться числові константи, звичайні і системні змінні, масиви (вектори і матриці) і дані файлового типу.

Константами називають пойменовані об'єкти, що зберігають деякі значення, що не можуть бути змінені. Змінні є пойменованими об'єктами, що мають деяке значення, що може змінюватися по ходу виконання програми. Тип змінної визначається її значенням; змінні можуть бути числовими, рядковими, символьними і т.д. Імена констант, змінних і інших об'єктів називають ідентифікаторами. Ідентифікатори в MathCAD являють собою набір латинських чи грецьких букв і цифр.

У MathCAD міститься невелика група особливих об'єктів, які не можна віднести ні до класу констант, ні до класу змінних, значення яких визначені одразу після запуску програми. Їх вірніше вважати системними змінними, що мають визначені системою початкові значення Зміну значень системних змінних роблять у вкладці Вбудовані змінні діалогового вікна

Math Options команди Математика Þ Опції.

Функція – вираз, відповідно до якого проводяться деякі обчислення з аргументами і визначається його числове значення.

Слід особливо зазначити різницю між аргументами і параметрами функції. Змінні, зазначені в дужках після імені функції, є її аргументами і замінюються при обчисленні функції значеннями з дужок. Змінні в правій частині визначення функції, не зазначені дужках у лівій частині, є параметрами і повинні задаватися до визначення функції (див. Приклад 2 Малюнку 1).

Головною ознакою функції є повернення значення, тобто функція у відповідь на звернення до неї по імені з вказівкою її аргументів повинна повернути своє значення.

Функції в пакеті MathCAD можуть бути вбудовані (див. Додаток 3), тобто завчасно введені розроблювачами, і визначені користувачем.

Способи вставки вбудованої функції:

1. Вибрати пункт меню Вставка Þ Функція.

2. Натиснути комбінацію клавіш Ctrl + E.

3. Клацнути на кнопці функції.