Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Чисельне розв’язання трансцендентних рівнянь. Опис методів дихотомії (половинного ділення), хорд, дотичних, комбінованого методу хорд та дотичних
До трансцендентних функцій відносять всі неалгебраїчні функції: Показникові ах, логарифмічні , , тригонометричні sin x, cos x, tgx, ctgx, обернені тригонометричні та інші. Нелінійні рівняння, які містять трансцендентні функції називаються нелінійними трансцендентними рівняннями. Розв’язком нелінійного рівняння на ЕОМ називається вектор , координати якого при підстановці в початкове рівняння перетворює його в тотожність. В нелінійному рівнянні виду і -та координата вектора називається і - тим коренем рівняння, а а1, а2, …, ат - коефіцієнтами рівняння. Нехай маємо рівняння , де – неперервна, монотонна нелінійна функція, яка має на відрізку єдиний корінь , тобто добуток , причому , де – задана похибка обчислень. Потрібно знайти значення кореня з заданою похибкою (рис. 1.2.1.). Рисунок 1.2.1. – Графічна інтерпретація методу половинного ділення. Алгоритм методу (рис.1.2.1.) оснований на багатократному ділені навпіл і звужуванні досліджуваного відрізка , який отримали в результаті попереднього дослідження функції (відокремлення коренів).
Метод половинного ділення Метод половинного ділення – це найпростіший метод уточнення кореня рівняння. Він сходиться для будь-яких неперервних функцій , в тому числі недиференційованих. Швидкість сходження невелика . Алгоритм методу 1) На відрізку вибираємо точку , яка розділяє його на два рівних відрізки і , довжина яких рівна і знаходиться за формулою 2) Перевіряємо чи , якщо так, то – точний корінь початкового рівняння і переходимо до пункту 6. 3) У випадку, коли , то з двох отриманих відрізків і вибираємо той, на кінцях якого функція приймає значення протилежних знаків, тобто, якщо , тоді залишаємо відрізок і точку переносимо в точку (); якщо , то залишаємо відрізок і переносимо точку в точку () і переходимо до пункту 1. 4) Процес ділення відрізка навпіл виконується доти, поки на якомусь етапі, або середина відрізка буде коренем, або буде виконана умова закінчення ітераційного процесу: . 5) У цьому випадку за наближене значення кореня вибирають . 6) Вивід результатів. Кінець алгоритму. 7) Відомо, що при цьому похибка не перевищує , де – число ітерацій. Схема алгоритму розв'язання нелінійного рівняння методом половинного ділення представлена на рисунку 1.2.2.
Рисунок 1.2.2. – Схема алгоритму розв'язання нелінійного рівняння методом половинного ділення
Метод хорд. · Метод хорд є одним з найбільш поширених методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. В літературі він також зустрічається під назвою "метод лінійного інтерполювання" і "метод пропорційних частин". · Постановка задачі · Розглянемо рівняння , де неперервна нелінійна функція, яка на відрізку монотонна, диференційована і має єдиний корінь (тобто ). Потрібно знайти наближене значення кореня з заданою похибкою . · Суть методу хорд полягає в тому, що на достатньо малому відрізку дуга функції замінюється хордою ab, яка її стягує. За наближене значення кореня приймається точка х1 перетину хорди з віссю (рис.1.2.3.а).
Рисунок 1.2.3. – Графічна інтерпретація методу хорд і процедури визначення рухомого кінця хорди Рівняння хорди, яка проходить через точки має вигляд Знайдемо значення , для якого , тобто для нерухомого кінця: Ця формула називається формулою методу хорд. Тепер корінь знаходиться всередині відрізка . Значення кореня можна уточнити за допомогою метода хорд на відрізку , тоді нове наближене значення кореня х2 знаходиться за формулою . Аналогічна для всякого -го наближення до точного значення кореня даного рівняння використовується формула: Процес стягування хордою продовжується багаторазово доти, поки не одержано наближений корінь із заданим степенем точності де – наближені значення коренів рівняння , відповідно на і -му ітераційному кроці; – задана точність обчислень. Слід відмітити, що розглянутий випадок (рис.1.2.3.а) перетину функції відрізку не є єдиним. Існує ще три варіанти перетину функції, кожний з яких відрізняється напрямком побудови хорд і відповідно рухомими кінцями відрізку. Наприклад, на рис.1.2.3.а,б рухомий кінець відрізку а, а на рис.1.2.3.в,г рухомий кінець – і відповідно формула для нього має вигляд: Для автоматизації цього алгоритму необхідно розробити правило для автоматичного вибору рухомого кінця хорди і відповідно формули для обчислення наближеного значення кореня. Існує два правила визначення рухомого кінця хорди.
Комбінований метод. Методи хорд і дотичних дають наближення кореня з різних сторін відрізку . Тому їх часто використовують в поєднанні один з одним, і процес уточнення кореня нелінійного рівняння проходить скоріше. Постановка задачі Нехай дано рівняння , де неперервна нелінійна функція, яка на відрізку монотонна, диференційована і має єдиний корінь (тобто ). Потрібно знайти наближене значення кореня з заданою похибкою . Використаємо комбінований метод хорд і дотичних з урахуванням поведінки функції на відрізку . Якщо f'(x)Чf''(x)>0, то метод хорд дає наближення кореня з недостачею, а метод дотичних – з залишком (рис.1.2.4.а,б). Якщо ж f'(x)Чf''(x)<0, то методом хорд отримуємо значення:
Рисунок 1.2.4. – Геометричний зміст комбінованого методу. методом дотичних – з недостачею (рис.1.2.4.в,г). Однак в усіх випадках справжній корінь знаходиться між наближеними коренями, які отримані за методом хорд і методом дотичних, тобто виконується нерівність а< хn < x < хn<b, де хn – наближене значення кореня з недоліком, `- з надлишком. Суть методу полягає в тому, що на досить малому відрізку (отриманому при відокремлені коренів) дуга функції з одного кінця відрізка стягується хордою, а з другого – дотичною. Тобто, якщо сумістити обидва методи, то після знаходження коренів відрізок на кожному кроці ітерації звужується шляхом переносу кінців відрізка в точки перетину хорди та дотичної з віссю . Наближене значення кореня нелінійного рівняння визначається відповідно до таких правил: Правило 1. Якщо добуток першої на другу похідну функції більший за нуль: , (рис. 1.2.4.а, б) то рухомим для методу хорд є кінець a, і наближене значення кореня з боку кінця a обчислюється за формулою хорд: . Для методу дотичних рухомим є кінець , і наближене значення кореня обчислюється за формулою дотичних: . Правило 2. Якщо добуток першої на другу похідну функції менший за нуль: (рис. 1.2.4. в, г), то рухомим для методу хорд є кінець b, і наближене значення кореня з боку кінця b обчислюється за формулою хорд: . Для методу дотичних рухомим є кінець a, і наближене значення кореня обчислюється за формулою дотичних: . Комбінований метод дуже зручний при оцінці похибки обчислень. Ітераційний процес продовжується доти, поки не стане виконуватися нерівність . За наближене значення кореня приймають , де і – наближені значення кореня відповідно з недостачею та з надлишком.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-15; просмотров: 620; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.58.150.59 (0.021 с.) |