Числовая последовательность и ее предел

КОЛОКВИУМ 1

§1. Понятие и способы задания функций. Основные свойства функции. Сложная и обратная функции.

О.1. Пусть даны два непустых множества и . Соответствие (закон) , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается или .

При этом является независимой переменной или аргументом, - зависимой переменной или значением функции, множество называется областью определения (или существования) функции, множество - областью значений функции, а буква f обозначает закон соответствия.

Функция может быть задана тремя основными способами: аналитически, таблично или графически.

Например:

1) функция (антье) – целая часть, где n – наибольшее из целых чисел не превосходящее аргумента .

2) функция - дробная часть числа: .

 

Рассмотрим основные свойства функций.

1. Четность и нечетность. Функция , определенная на множестве D называется чет­ной, если для любых значений и нечетной, если . Иначе функ­ция называется функцией общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а гра­фик нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумен­та из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значе­ние функции.

Т.е. если и , то функция возрастает; если и , то функция убывает.

Если и то функция называется неубывающей, если и , то функция называется невозрастающей.

Функции возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие называются монотон­ными функциями. Функции возрастающие, убывающие, называются строго монотон­ными функциями.

3. Ограниченность. Функция , определенная на множестве называется ограниченной сверху (снизу) на этом множестве, если существует число , такоечто для всех выполняется неравенство . Иначе функция называется неограниченной.

Число и любое большее (меньшее) число называется верхней (нижней) гранью множества значений функции , а наименьшее (наибольшее) из чисел, ограничивающих множество сверху (снизу), - точной верхней (нижней) гранью функции на множестве .

Например, функция ограничена на всей числовой оси, так как для любого .

4. Периодичность. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при любом значение и . При этом число называется периодом функции.

Если - период функции, то ее периодами будут также числа , где

За основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству .

Если функции и периодические с периодами и соответственно, то периодом их суммы, произведения, разности и частного является число , кратное и .

5. Явные и неявные функции. Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; напри­мер, функция у=х² +5х + 1.Функция аргумента называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, функция у(у>0), заданная уравнением х⁵ + у² - х =0.

6. Обратная функция. Пусть есть функция от независи­мой переменной , определенной на множестве с областью значений . Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определенная на множестве с областью значений , называется обратной.

 

Обратную функцию обозначают так же в виде . Например, для функции у=а^х обратной будет функ­ция х=log_aу или (в обычных обозначениях зависимой и незави­симой переменных) у= log_a x.

Таким образом, функция имеет обратную, тогда и только тогда, когда выполняется взаимно-однозначное соответствие между множествами и . Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Графики взаимно обратных функ­ций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

7. Сложная функция. Пусть функция есть функция от переменной , определенной на множестве с областью значений , а переменная в свою очередь является функцией от переменной , определенной на множестве с обла­стью значений . Тогда заданная на множестве функция называется сложной функцией.

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, — сложная функция, так как ее можно представить в виде , где .

 

§2. Основные элементарные функции, классификация функций. Преобразование графиков функций

О.1. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и ко­нечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

К основным элементарным относятся следующие функции: степенная функция у=х^α, α R; показательная функция у=а^х, а › 0, а ≠1; логарифмическая функция y=log_ax, а › 0, а ≠1; тригонометрические формулы и обратные тригонометрические формулы.

Например, функции ; является элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функ­ции конечно.

Примерами неэлементарных функций являются функции у= | х |, у= [ х ].

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргумен­том проводится конечное число алгебраических действий. К чис­лу алгебраических функций относятся:

1) целая рациональная функция (многочлен или полином):
;

2) дробно-рациональная функция — отношение двух многочленов;

3) иррациональная функция (если в составе операций над аргу­ментом имеется извлечение корня).

Любая неалгебраическая функция называется трансцендент­ной. К числу трансцендентных функций относятся функции: по­казательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

Рассмотрим методику построения графиков функций, основанную на применении некоторых правил построения по уже известным графикам функций.

Правило 1. Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции сдвинуть вдоль оси на вправо, если , или на влево, если .

Правило 2. Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции сдвинуть вдоль оси на вверх, если , или на вниз, если .

Правило 3. Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции зеркально отразить относительно оси .

Правило 4. Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции зеркально отразить относительно оси .

Правило 5. Чтобы построить график функции , нужно значение ординаты графика функции умножить на число , а абсциссу оставить без изменения.

При этом от умножения всех значений функции на ординаты графика функции увеличатся в раз и происходит «растяжение» графика функции от оси в раз, а от умножения на при ординаты графика функции уменьшаются в раз и происходит «сжатие» графика функции к оси в раз.

Правило 6. Чтобы построить график функции , нужно значение разделить на число .

При этом от деления всех значений аргумента функции на график функции «сжимается» к оси в 1∕к раз, а от деления на при график функции «растягивается» от оси в 1∕к раз.

Правило 7. Чтобы получить график функции из графика функции , надо участки графика функции , лежащие выше оси , оставить без изменения, а участки ниже оси зеркально отразить относительно этой оси.

Правило 8. Чтобы получить график функции у= f(|х|) из графика функции , надо построить график функции , при и отразить его зеркально относительно оси .

 

 

Предел функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки . Возьмем из этой окрестности последовательность точек, отличных от : сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность , и можно говорить о существовании ее предела.

О.1. (по Коши). Число называется пределом функции при , стремящимся к (или в точке ), если для любого, даже очень малого числа , найдется такое число (), что для всех и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Обозначается .

Смысл определения предела функции в точке состоит в том, что для всех значений , достаточно близких к , значения функции мало отличаются от числа (по абсолютной величине).

О.2. (по Гейне). Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящейся к последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Определение предела не требует существования функции в самой точке . То есть, рассматривая , мы предполагаем, что , но не достигает значения . Поэтому наличие или отсутствие предела при определяется поведением функции в окрестности точки , но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке .

В определении предела функции считается, что любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ) или колеблясь около точки .

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

О.3. Число называется пределом функции слева в точке , если для любого числа , существует число (), такое что при , выполняется неравенство

Предел слева записывают так: .

Аналогично определяется предел функции справа: .

Пример. Найти правосторонний предел и левосторонний предел функции .

Решение: и

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем . Если же , то не существует.

О.4. Число называется пределом функции при , если для любого числа , найдется такое число (), что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Примеры функций имеющих пределы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. не существует.

Примеры.

1. Последовательность {п} является бесконечно большой.

2. Последовательность { } является бесконечно малой.

Теорема 1. Если {х_п} - бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, х_п ≠0, то последовательность {α_п}= - бесконечно малая, и, обратно, если {α_п} бесконечно малая последовательность, α_п≠0, то последовательность {х_п}= бесконечно большая.

Сформулируем основные свойства бесконечно малых последовательностей в виде теорем.

Теорема 2. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности.

Пример 2. Последовательность с общим членом бесконечно малая, т.к. т.е заданная последовательность является суммой бесконечно малых последовательностей и и поэтому является бесконечно малой.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Замечание. Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть любой последовательностью и может не иметь смысла.

Например, если , , то все элементы последовательности равны 1 и данная последовательность является ограниченной. Если , , то последовательность - бесконечно большая, и наоборот, если , а , то - бесконечно малая последовательность. Если начиная с некоторого номера элементы последовательности равны нулю, то последовательность не имеет смысла.

Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Пример 3. Последовательность бесконечно малая, т.к. и последовательность { }- бесконечно малая, последовательность - ограничена, т.к. ‹ 1. Следовательно, - бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой при , если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от М, δ=δ(М)), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Записывают: или при .

Например, функция есть бесконечно большая функция при ; функция при .

Если f(x) стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут , если лишь отрицательные значения, то .

Определение. Функция f(x), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от М, N=N(М)), что при всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Например, функция у=2^х есть бесконечно большая функция при ; функция является бесконечно большой функцией при .

Свойства бесконечно больших функций:

1. Произведение б.б.ф. на функцию, предел которой отличен от нуля, есть б.б.ф.

2. Сумма б.б.ф. и ограниченной функции есть б.б.ф.

3. Частное от деления б.б.ф. на функцию, имеющую предел, есть б.б.ф.

Например, если функция f(x)=tgx есть б.б.ф. при , функция φ(х)=4х-3 при имеет предел (2π-3) отличный от нуля, а функция ψ(х)=sinx – ограниченная функция, то

f(x) φ(х)=(4х-3) tgx; f(x) + ψ(х)= tgx + sinx; есть бесконечно большие функции при .

 

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при , если

. (1)

По определению предела функции равенство (1) означает: для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Теорема. Для выполнения равенства необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно малой при . При этом функция может быть представлена в виде .

Аналогично определяется б.м.ф. при , - 0, , во всех случаях f(x) 0.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, β и т.д.

Например, у=х² при х→0; у=х-2 при х→2; у=sinx при х→πк, - бесконечно малые функции.

Свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая;

2. Произведение конечного числа бесконечно малых функций, а также бесконечно малой функции на ограниченную функция, есть величина бесконечно малая;

3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нолю, если величина бесконечно малая.

Рассмотрим последнее свойство при если функции и являются бесконечно малыми (Сравнение бесконечно малых функций):

1). Если , то называется бесконечно малой, более высокого порядка малости, чем .

Пример. При х→2 функция (х — 2)³ бесконечно малая более высокого порядка, чем (х -2), так как .

2). Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка (имеют одинаковую скорость стремления к нолю);

Пример. При х→0 функции 5х² и х² являются бесконечно малыми одного порядка, так как .

 

3). Если ,то и называются эквивалентными бесконечно малыми, обозначаются ~ .

Эквивалентные бесконечно малые при :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Теорема. Если существует предел отношения двух беско­нечно малых α и β, то он равен пределу отношения соответству­ющих им эквивалентных бесконечно малых.

Пример:

Определить порядок малости можно по следующему правилу:

4). Если , то называется бесконечно малой -го порядка малости относительно от .

Пример:

Определить порядок малости при , относительно бесконечно малой .

.

Таким образом, бесконечно малая является бесконечно малой третьего порядка относительно .

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями: функция обратная бесконечно малой является бесконечно большой (и наоборот), т.е. если - бесконечно малая функция, то - бесконечно большая.

Пример.

Замечание. В общем случае справедливы равенства , и

Предел последовательности с общим членом при называется вторым замечательным пределом и равен числу , т.е.

.

Замечание. Если обозначить , то второй замечательный предел можно записать в виде .

Доказательство первого и второго замечательного предела самостоятельно.

Пример.

Предел .

КОЛОКВИУМ 2

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Производная функции

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

2. Определение производной. Общее правило дифференцирования.

- 1 -

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении многих задач.