Радіальне рівняння Шредінгера.

Шредінгер отримав у1926 р. рівняння для визначення хвильової функції. Воно дозволяє знайти хвильові функції

частинок, які рухаються в різних силових полях. Рівняння виглядає так:

(1).Тут m – маса частинки; i – уявна одиниця; U – потенціальна енергія частинки; D –

оператор Лапласа, результат дії якого на деяку функцію є сумою других частинних похідних за координатами:

.Рівняння (1) називають загальним рівняннямШредінгера. З рівняння (1) випливає, що вигляд хвильової функції визначається потенціальною енергією U, тобто в остаточному підсумку характером сил, що діють на частинку.

Рівняння Шредінгера є основним рівнянням нерелятивістської квантової

механіки. Воно не може бути доведене з інших співвідношень. Його варто розглядати як вихідне основне припущення, справедливість якого доводиться тим, що всі наслідки, які

випливають із нього, точно узгоджуються з дослідними фактами.

Шредінгер установив своє рівняння, виходячи з оптико-механічної аналогії. Ця аналогія полягає в подібності рівнянь, які описують хід світлових променів, з рівняннями, що

визначають траєкторії частинок у класичній механіці.

(2) Рівняння (2) називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів(стаціонарне рівняння Шредінгера). Це рівняння

часто пишуть у вигляді

.

 

 

22. Атом водню. Класиф станів електрону в атомі

А́том во́дню — найпростіший із атомів хімічних елементів.Він складається з позитивно зарядженого ядра, яке для основного ізотопа є просто протоном, і одного електрона.Квантовомеханічна задача про дозволені енергетичні стани атома водню розв'язується точно. Зважаючи на цю обставину, хвильові функції, отримані як власні функції цієї задачі, є базовими для розгляду решти елементів періодичної таблиці. До складу атома водню входить ядро з масою M і зарядом +e та електрон із зарядом -e. Взаємодія між ними — кулонівське притягання.

Гамільтоніан атома водню має вигляд ^[1]

,

де — радіус-вектор ядра, а — радіус-вектор електрона.

Власні функції гамільтоніана мають вигляд:

,де , — радіус Бора, — поліноми Лагера, — сферичні гармоніки.

Функції характеризуються трьома цілими квантовими числами

n = 1,2,3… — основне квантове число.

l = 0..n-1 — орбітальне квантове число.

m = -l..l — магнітне квантове число.

Крім того, електронні хвильові функції характеризуються ще одним квантовим числом — спіном, який з'являється при врахуванні релятивістських ефектів. Спінове квантове число приймає значення .В основному стані хвильова функція атома водню має вигляд:

,

де Z = 1 — зарядове число для ядра атома водню.Енергія власних станів атома водню приблизно дорівнює

,

де — універсальна стала, яка отримала назву сталої тонкої структури

А́том (от др.-греч. неделимый) — наименьшая химически неделимая часть химического элемента, являющаяся носителем его свойств^[1]. Атом состоит из атомного ядра и электронов. Ядро атома состоит из положительно заряженных протонов и незаряженных нейтронов. Если число протонов в ядре совпадает с числом электронов, то атом в целом оказывается электрически нейтральным. В противном случае он обладает некоторым положительным или отрицательным зарядом и называется ионом. Атомы классифицируются по количеству протонов и нейтронов в ядре: количество протонов определяет принадлежность атома некоторому химическому элементу, а число нейтронов — изотопу этого элемента. Атомы различного вида в разных количествах, связанные межатомными связями, образуют молекулы. При описі електронів в атомі в рамках квантової механіки, зазвичай розглядають розподіл ймовірності в 3n-мірному просторі для системи n електронів.
Електрони в атомі притягуються до ядра, між електронами також діє кулонівська взаємодія. Ці ж сили утримують електрони всередині потенційного бар'єру, навколишнього ядра. Для того, щоб електрон зміг подолати тяжіння ядра, йому необхідно отримати енергію від зовнішнього джерела. Чим ближче електрон знаходиться до ядра, тим більше енергії для цього необхідно.
Електронам, як і іншим часткам, властивий корпускулярно-хвильовий дуалізм. Іноді говорять, що електрон рухається по орбіталі, що невірно. Стан електронів описується хвильовою функцією, квадрат модуля якої характеризує щільність ймовірності знаходження частинок в даній точці простору в даний момент часу, або, в загальному випадку, оператором щільності. Існує дискретний набір атомних орбіталей, яким відповідають стаціонарні чисті стану електронів в атомі.