Вихідні дані при постановці завдання на синтез сау

При постановці завдання на синтез САУ прийнято використовувати наступні типові показники якості перехідного процесу, зміст яких зрозумілий із типового графіку перехідного процесу (рисунок 2.8) слідкуючої системи з задаючим вхідним впливом у вигляді одиничного стрибка [3, 4, 5]:

– час перехідного процесу t_пп – це час остаточного входження в 5% коридор усталеного значення вихідної керованої величини;

– стала похибка , визначає статичну точність системи; якщо , то система називається астатичною.

– відносне перерегулювання: ; Зазвичай вимагають, щоб s% < 35-40%

– M - число коливань за час перехідного процесу ;

– x₀ та a₀ – початкове відхилення та початкове прискорення вихідної регульованої величини.

 

Рисунок 2.8 – Перехідна характеристика слідкуючої системи

 

Це – стандартні показники якості процесів регулювання та управління, вони зрозумілі для замовників. Виявляється, що всі чотири показники найтіснішим образом зв'язані з запасами стійкості по амплітуді і по фазі. Тому, забезпечення стандартних показників якості забезпечує необхідну стійкість. Час перехідного процесу t_пп, сталу похибку та коливальність M можуть бути легко визначені. На жаль, перерегулювання s% обчислюється набагато складніше.

Задачу забезпечення показників якості процесів регулювання можна розглядати, як оптимізаційну. Однак, задача оптимізації, вданому випадку, виявляється багатокритеріальною.

Покращений квадратичний інтегральний показник якості одним числовим значенням враховує всі типові показники якості:

. (2.11)

При використанні цього показника якості можна цілком коректно підібрати коефіцієнти регулятора, при якому інтеграл J мінімальний.

Зрозуміло, що окрім обраних критеріїв якості при здійсненні процедури синтезу САУ на початковому етапі повинна бути відома структура і параметри незмінної частини системи, математичні моделі найбільш впливових зовнішніх збурюючих сил та задаючої дії, повинен бути визначений клас математичної моделі досліджуваної системи (лінійна або нелінійна, стаціонарна або нестаціонарна, неперервна або дискретна, одновимірна або багатовимірна, повна або неповна та інше).

Методи синтезу послідовних коректуючих пристроїв

Послідовний коректуючий пристрій включається послідовно в контурі системи в будь-якому місці. Але найкращим варіантом є розміщення коректуючої ланки в структурній схемі одразу після елемента порівняння, це дозволяє позбутися при роботі системи високочастотних перешкод та зменшити динамічну і статичну похибку САУ. Паралельний коректуючий пристрій, на відміну від послідовного коректуючого пристрою, має вигляд місцевого зворотнього зв’зку.

Для дослідження вихідної та скоректованої систем ідеально підходять ЛАЧХ і годограф Найквіста. Це зрозуміло, якщо згадати, що при послідовному з’єднанні необхідно перемножити функції передачі коректуючого пристрою та незмінної частини системи W_СК=W_КП×W_НСК, а, відповідно, просумувати їх ЛАЧХ – L_СК=L_КП+L_НСК або скласти вектори дійсної та уявної частини АФЧХ розімкнутої системи. Враховуючи цей факт, легко знаходити ЛАЧХ коректуючого пристрою за виразом L_КП =L_СК – L_НСК, реалізувати цю ЛАЧХ набором типових динамічних ланок з подальшою технічною реалізацією у вигляді пасивних RC- ланцюгів або електричних схем на операційних підсилювачах [6].Типовим послідовним коректуючим пристроєм є ПІД-регулятор, структуру якого наведено на рисунку 2.9.

Рисунок 2.9 – Структурна схема ПІД-ругулятора

Вплив підсилюючої складової Кп дозволяє змінити загальний коефіцієнт підсилення системи, тим самим дозволяє змінити зменшити коефіцієнт статизму (встановлену похибку) :

. (2.12)

Вплив інтегруючої складової Кп/s призводить до підвищення порядку астатизму скоректованої системи на одиницю. Її вплив на годограф разове, систематичне.

Диференціююча складова Кд не впливає на встановлену похибку:

; при .

Збільшення коефіцієнта підсилення Кд підвищує запас стійкості скоректованої системи, згладжує перехідний процес, тому диференціальну складову називають демпфуванням.

Таким чином, за допомогою інтегральної і пропорційної складових можна забезпечити перший порядок астатизму і бажану статичну точність системи з одночасним зменшенням запасів стійкості. А диференціальна складова підвищує запас стійкості скоректованої системи.

В основі синтезу послідовного корректуючого пристрою, який повинні засвоїти студенти, покладені частотні оцінки показників якості процесів регулювання у лінійній системі і синтез коректуючих пристроїв методом логарифмічних частотних характеристик за допомогою діаграм В.В.Солодовнікова.

Метод В.В.Солодовнікова використовує прямий зв'язок між частотною характеристикою і перехідною характеристикою у САУ (САР) [3, 4, 5]:

. (2.13)

У цій формуліР(w) – дійсна частина АФЧХ (комплексної функції передачі замкнутої системи):

W(jw) = P(w) + jQ(w).

В.В. Солодовників довів, що в будь-який САУ зберігаються наступні залежності між основними показниками якості перехідної характеристики і ДЧХ – Р(w):

– Якщо ДЧХ при деякому значенні w_К має розрив неперервності (Р(w)=¥), це означає наявність уявного кореня s_i=±jw_K у характеристичному рівнянні замкнутої системи і знаходження САУ на межі стійкості.

– Наявність високого, гострого піку ДЧХ, а також зміна її знаку свідчать про довготривале згасання коливного процесу.

– Перерегулювання s% > 18%, якщо дійсна частотна характеристика (ДЧХ) замкнутої системи Р(w) має максимум, тобто. Р_мах > Р₀ (рис. 2.10).

– Перерегулювання s% < 18%, якщо ДЧХ не має максимуму і є не зростаючою функцією (Р(w)>0 при ).

– Перерегулювання s% = 0, якщо похідна dР/dw <0 і ДЧХ монотонно убуває і Р(w)>0. Вимога монотонного убування ДЧХ часто є занадто жорсткою умовою при вирішенні задач синтезу САУ і накладає невиправдані обмеження на структуру системи та конструкцію її основних елементів. Прийнято забезпечувати перерегулюванняу межах 18 < s% < 40%. Тоді максимальне значення перерегулювання (у %) можна дістати з формулою:

– Якщо Р(w) є приблизно трапецеїдальною характеристикою, тоді тривалість перехідної характеристики знаходитиметься у межах:

– Якщо ДЧХ має максимум, то час перехідного процесу оцінюється наступним виразом:

Крім того, у технічній літературі наводяться криві, за якими залежно від величини P_max(w)/P(0) можна знайти значення перерегулювання s% та відносного часу регулювання t=w_Зt_ПП. Відомі також номограми, які встановлюють взаємозалежність ординат дійсної та уявної частотних характеристик замкнутої системи та ЛАЧХ розімкнутої системи, а також діаграми зв’язку між перерегулюванням s%, коливальністю М, показниками ступеня затухання і запасів стійкості замкнутої системи.

Одним з найефективніших інженерних методів синтезу систем автоматичного управління є метод, в основу якого покладено використан­ня ЛАЧХ розімкнутої системи. Ідея методу ґрунтується на тому, що для стійких мінімально-фазових систем існує однозначний зв'язок між пе­рехідною характеристикою замкнутої системи і виглядом ЛАЧХ відповідної розімкнутої системи. Виходячи з бажаного вигляду пе­рехідного процесу, будують ЛАЧХ, яка відповідає такому процесу (бажану ЛАЧХ). Далі, знаючи вигляд бажаної ЛАЧХ, до неї наближують ЛАЧХ вихідної системи, запроваджуючи різні коректуючі пристрої.

Будь-яка САУ складається з незмінної частини, до якої належить об’єкт регулювання або управління, автоматичний управляючий пристрій або регулятор, силовий керований пе­ретворювач, а також елементи головного зворотного зв'язку та порівняння. Об’кт регулювання вважається відомим при проектуванні САК, виконавчий елемент управляючого пристрою (регулятора), перетворювачі вибирають, виходячи з технологічних характеристик об’єкта. Природно, що ці елементи не підлягають зміні при корекції динамічних властивостей САУ. Незмінними,звичайно, також вважаються елементи, що забезпечують потрібну точність роботи системи в усталеному режимі –підсилювач, а в астатичній системі – інтегруючий елемент. Елементи САУ, що не змінюються, визначають ЛАЧХ вихідної не скоректованої системи.

Бажану ЛАЧХ, яка визначає потрібну якість САУ, умовно поділяють на три частини: низькочасютну L_НЧ(w), середньо частотну L_СЧ(w) і високочастотну L_ВЧ(w). Можливий вигляд бажаної ЛАЧХ статичної системи показаний на рис.1.11. До низькочастотної частини ЛАЧХ належить ділянка характеристики, нахил якої не змінюється при w ® 0. Вона проходить через точку з координатами L(w)=20lg К,lgw=0, де К –коефіцієнт передачі розімкнутoї системи, і має нахил 0 дБ/дек для статичних систем, -20 дБ/дек – для астатичних систем першого порядку і -40 дБ/дек – для астатич­них систем другого порядку.

Низькочастотна частина ЛАЧХ визначається коефіцієнтом передачі розімкнутої системи K і порядком астатизму, отже, вона характеризує точність роботи системи в усталених режимах. Якщо до незмінюваної частини системи належать елементи, що забезпечують потрібну точність роботи САУ в усталеному режимі, то низькочастотні частини бажаної ЛАЧХ і ЛАЧХ вихідної системи збігаються.

До середньо частотної частини належить ділянка ЛАХ з однаковим нахилом, що проходить через частоту зрізу w_ЗР. Ця частина ЛАЧХ є най­важливішою, бо вона визначає переважно якість перехідних процесів. Основними параметрами, які характеризують середньо частотну части­ну, є її нахил і частота зрізу. Для задовільної якості перехідних про­цесів замкнутої системи необхідно, щоб нахил ЛАЧХ на частоті зрізу дорівнював -20 дБ/дек. Якщо нахил ЛАЧХ на частоті зрізу стано­вить -40дБ/дек, то перехідний процес має велике перерегулювання, а при нахилі 60дБ/дек система, як правило, буде нестійкою. Частота зрізу w_ЗР визначає швидкодію САУ. Швидкодія зростає при збільшенні w_ЗР.

 

Рисунок 2.11 – Можливий вигляд бажаної ЛАЧХ статичної САУ

Високочастотна частина ЛАЧХ L_ВЧ(w) знаходиться в зоні від'ємних децибелів, тому майже не впливає на якість перехідного процесу, а лише на його початок. Власне кажучи, краще мати якомога більший нахил асимптот високочастотної частини, бо це зменшує вплив високочастотних перешкод. У деяких випадках високочастотну частину ЛАХ взагалі не беруть до уваги.

Для побудови бажаної ЛАЧХ, виходячи із заданих вимог до якості перехідних процесів, використовуються різні методи. Розглянемо най­поширеніші з них.

Розглянемо метод В.В. Солодовнікова [3] стосовно астатич­ної системи першого порядку, в якої низькочастотні асимптоти з нахилом -20 дБ/дек вихідної L_В(w) бажаної ЛАЧХ L_Б(w) збігаються і проходять че­рез точку з координатами L(w)=20lg К,lgw=0 (рис 2.12).

Вихідними даними для побудови бажаної ЛАЧХ є час регулювання t_Р і перерегулювання s%. Можуть бути заданими також максимальне прискорення а та початкове розузгодження вихідної координати х₀.

Бажану ЛАЧХ L_Б(w) будують у такій послідовності.

1. Вибирають частоту зрізу, виходячи з умови:

w_ЗР1 £ w_ЗР £ w_ЗР2,

де w_ЗР1 – мінімальне значення частоти зрізу, при якому час регулюван­ня не перевищує заданий; w_ЗР2 – максимальне значення частоти зрізу, яке визначають, виходячи із заданого максимального прискорення а_max регульованої координати та її початкового розузгодження х₀.

 

Рисунок 2.12 – Побудова бажаної ЛАЧХ астатичної системи за методом В.В.Солодовнікова

Значення w_ЗР1визначають за номограмою (рис. 2.11) у такому порядку.

Виходячи із заданого значення s% за графіком s(U_max) визначають відповідне значення U_max. Потім за цим значенням (U_max) за графіком t_Р( U_max ) знаходять значення співвідношення сp/w_ЗР. Цю величину порівнюють із заданим значен­ням t_Р і із знайденого рівняння визначають:

w_ЗР1=сp/ t_Р.

Частоту w_ЗР2 обчислюють за формулою:

Якщо w_ЗР1 > w_ЗР2 то слід вибирати w_ЗР £ w_ЗР2. Якщо значення а_max і х₀ не задані, то w_ЗР > w_ЗР1.

2. Після визначення частоти зрізу будують середньо частотну асимптоту бажаної ЛАЧХ, яка проходить через частоту зрізу з нахи­лом -20 дБ/дек.

3. На рисунку 2.13 зображений наближений графік номограми, за яким, виходячи із знайденого значення U_max, визначають L_Dj і Dj_min.

При виконанні розрахункової роботи слід скористатися довідниковим матеріалом, де наведені точні номограми, що дозволяють визначати координати середньо частотної ділянки асимптотичної бажаної ЛАЧХ скоректованої системи за заданими показниками якості перехідного процесу [ 6, 7].

 

 

 

Рисунок 2.13 – Графік номограми для визначення запасів стійкості скоректованої системи

 

Після побудови середньо частотної асимптоти бажаної ЛАЧХ, її сполучають з низькоча­стотною так, щоб в інтервалі частот, для якого:

0 £ L_Б(w) £ L_Dj, (2.14)

надлишок фази був більшим або дорівнював мінімальному надлишку:

Δφ³ Δφ_min. (2.15)

Сполучення ЛАЧХ вихідної системи та середньо частотної ділянки бажаної ЛАЧХ здійснюють асимптотою з нахилом -40 дБ/дек або -60 дБ/дек для астатичних систем першого порядку і -60 дБ/дек – для астатичних систем другого порядку. Надлишок фази при частоті wможна виз­начити за такою наближеною формулою:

(2.16)

де ν— порядок астатизму; w_i — частоти сполуки бажаної ЛАЧХ, які містяться ліворуч від w_а; m і l — кількість частот сполуки, на яких на­хил бажаної ЛАЧХ змінюється на -20 дБ/дек або +20 дБ/дек відповідно.

Надлишок фази Δj = π + j(w),де j(w) < 0, перевіряють лише для тієї частоти w_α(рис.1.12), для якої L_Б(w) = L_Dj,. Частоті w_αможе відповідати точка сполуки асимптот або точка на одній з цих асимптот.

Задовольняння умов (2.14) і (2.15) означає, що бажаній ЛАЧХ відповідає ти­пова частотна характеристика U(w), у якої |U_min| = U_max -1 і для якої скла­дені використані раніше залежності s(U_max) і t_p(U_max), наведені на рис...

Якщо на частоті w_αнадлишок фази Δj_a < Δj_min,то асимптоту сполуки необхідно зсунути вліво або зменшити її нахил; якщо Δj_a > Δj_min, то асим­птоту слід зсунути вправо або збільшити її нахил. Отже, потрібне поло­ження асимптоти сполуки відшукується методом спроб (ітерацій). При цьому різниця Δj_а - Δj_min не повинна перевищувати кількох градусів.

4. Середньочастотну асимптоту сполучають з високочастотною так, щоб в інтервалі частот, для якого

0 ³ L_Б(w) ³ L_Δj,

надлишок фази становив Δj ³ Δj_min.

Надлишок фази досить перевірити при частоті ω_б (рис. 2.12) за такою наближеною формулою:

(2.17)

де q_сер– відносний нахил середньо частотної асимптоти (при на­хилі -20 дБ/дек q_сер =2); r – кількість частот сполуки бажаної ЛАЧХ, що перевищують частоту зрізу w_ЗР; w_i– частоти сполуки бажаної ЛАЧХ, що перевищують w_ЗР.

Якщо Δj < Δj_min, то асимптоту сполуки треба зсунути вправо або зменшити її нахил, якщо Δj > Δj_min, то необхідно цю асимптотузсунути вліво або збільшити на­хил. Різниця Δj - Δj_min не повинна перевищувати кількох градусів.

При сполученні середньо частотної частини ЛАЧХ з низькочастотною та високочастотною слід прагнути до того, щоб бажана ЛАЧХ якомога менше відрізнялась від ЛАЧХ вихідної системи. Це спрощує корекцію та подальшу технічну реалізацію коректуючого пристрою.

Синтез послідовного коректуючого пристрою здійснюють також із застосуванням метода Санковського-Сігалова [4, 7]. В основу цього методу покладено дев'ять типів бажаних ЛАЧХ розімкнутої системи (табл. 2.1).

Той чи інший тип ЛАЧХ вибирається залежно від вимог до САУ, яка синтезується. Ці вимоги є вихідними даними для синтезу. До них нале­жать: (dg/dt)_max, (d²g/dt²)_max– максимальне значення швидкості та прискорення зміни завдання; t – час регулювання; σ% – перерегулювання. При виборі типу ЛАЧХ рекомендується керуватися такими положеннями:

1) якщо завдання змінюється з великим прискоренням, а рівень перешкод незначний, то слід вибирати ЛАЧХ типу 1 для статичних систем
і типу 2 – для астатичних.

2) якщо прискорення, з яким змінюється завдання, невелике, але рівень
перешкод досить значний, то слід вибирати ЛАЧХ типів 3, 4 або 5;

3) при великих прискореннях зміни завдання і значному рівні перешкод треба вибирати ЛАЧХ типів 6, 7, 8 або 9.

У всіх випадках при виборі бажаної ЛАЧХ слід прагнути до того, щоб бажана ЛАЧХ якомога менше відрізнялася від ЛАЧХ вихідної системи. Після того як тип бажаної ЛАЧХ вибрано і, виходячи з вимог до якості САУ в усталеному режимі, визначено її низькочастотну частину, для побудови решти частин бажаної ЛАЧХ використовують дані таблиці 2.1 і такі співвідношення:

частота зрізу:

w₃ = c/t_р, (2.18)

запас стійкості по фазі:

Dj° = 73 - σ, (2.19)

де c=9 при Dj° = 30 °; c=8 при Dj° = 45 ° і c=7 при Dj° = 60 °.

Формули (2.18) і (2.19) дають похибку, що не перевищує 0,05... 0,1% при

60 ° > Dj° > 30 °.

При розрахунках можна користуватися й такими співвідно­шеннями:

де l= 2 або 3 при нахилі асимптоти, що сполучає середньо- та низько­частотні частини ЛАЧХ, -40 дБ/дек або -60 дБ/дек;

а = π/2 - Dj°.

Значення а (у радіанах) визначають, виходячи з припущення, що w_ЗР/w_i << 1 при і = 3, 4,... w_ЗР/w₁ >> 1.

Спрощена побудова бажаної ЛАЧХ [3]. Вихідними даними для побудо­ви Lб(w) є час регулювання t_рта перерегулювання s%.Частота зрізу ба­жаної ЛАЧХ обчислюється за формулою:

w_ЗР»k₀p/t_p,

де k – коефіцієнт, що визначається за графіком на рис. 2.14,aзалеж­но від перерегулювання s%.

 

 

Таблиця 2.1 – Основні типи бажаних ЛАЧХ

Тип ЛАЧХ	Функція передачі	Асимптотична ЛАЧХ	Частота зрізу

 

а б

 

 

в

Рисунок 2.14 – Номограми для спрощеної побудови бажаної ЛАЧХ скоректованої системи

 

Через частоту зрізу w_ЗРпроводиться середньо частотна асимптота ба­жаної ЛАЧХ з нахилом -20 дБ/дек. Частоти w₂і w₃, що обмежують ceредньочастотну асимптоту ліворуч і праворуч, вибирають, виходячи з таких наближених рівностей:

Для наближеної, але досить точної оцінки показників якості пе­рехідного процесу можна використати графіки на рисунку 2.14. Перерегулювання σ визначається за графіками на рисунку 2.14,бзалежно від коефіцієнтів а₂ і a₃,що визначають довжину середньо частотної частини ЛАЧХ: а₂=w₂/w_ЗР, а₃=w₃/w_ЗР. Запас стійкості по фазі Δj⁰ визначається за графіком на рисунку 2.14,в залежно від перерегулювання s%.

Наведемо скорочено послідовність процедури синтезу САУ за допомогою діаграм Солодовнікова, які встановлюють зв'язок між перерегулюванням s%, часом перехідного процесу t_пп, w_З -частотою зрізу системи, тобто тією частотою, де коефіцієнт передачі системи дорівнює 1 або L(w) = 0, і величиноювідношення Р_мах/ Р₀.

При синтезі послідовного коректуючого пристрою використовується поняття області суттєвих частот. Область суттєвих частот – це та частина частотної характеристики, яка в основному визначає якість процесів регулювання у системі управління. Тобто поведінка ДЧХ поза цією областю вже не робить помітного впливу на показники якості перехідного процесу.

Якщо, наприклад, розглядати логарифмічну частотну характеристику (ЛАЧХ) розімкнутої системи на інтервалі , тоді коефіцієнт передачі САУ К_пер визначається виразом 20log(К_пер)=26Дб Þ К_пер»20, звідки можна визначити величину усталеної похибки:

тобто нижня частота суттєвих частот визначається статичною точністю САУ і повинна бути розташована лівіше частоти ЛАЧХ не нижче +26дб, якщо система не повинна володіти астатизмом, або має нахил у залежності від порядку астатизму.

 

а б

Рисунок 2.15 – Можливий вигляд дійсної частотної характеристики (а); Номограми визначення частоти зрізу бажаної ЛАЧХ скоректованої системи згідно заданих показників якості перехідної характеристики (б)

 

За графіком номограми, наведеної на рисунку 2.15,б, можна, наприклад, визначити при заданому перерегулюванні s% і часі перехідного процесу t_пп частоту зрізу системи.

Загальний алгоритм синтезу САУ може бути, наприклад, таким. Послідовна коректуюча лан­ка вводиться в основний контур регулювання системи і зви­чайно є пасивним чотириполюсником або регулятором на базі операційного підсилювача. По можливості ланку слід вводити ближче до входу системи, де сигнали мають найменшу потужність. Далі необхідно виконати наступні дії:

1. Заданіпоказники якості перехідної характеристики бажаної системи: перерегулювання s% у відсоткахтачас перехідного процесу t_пп (с). Виходячи із заданої структури системи і параметрів її ланок, будують ЛАЧХ вихідної розімкнутої системи L_В(w);

2. За заданими показниками якості будують бажану ЛАЧХ L_Б(w). Для цього по діаграмах (рисунок 2.10,б або 2.14,а) визначаютьчастоту зрізу w_з. Будують область суттєвих частот, що дає нам основну середньо частотну частину бажаної ЛАЧХ. Добудовують ВЧ частина довільно і НЧ частина, виходячи з необхідного порядку астатизму.

3. Визначають ЛАЧХ коректуючої ланки L_К(w) як різницю L_Б(w)-L_В(w).

За ЛАЧХ коректуючої ланки L_К(w) визначають її передаточну
функцію, електричну схему і її параметри, тобто синтезуємо послідовну коректуючу ланку, що забезпечує бажану ЛАЧХ.